《2025年暑假Happy假日七年级理综》

21. 规律探索:
先填写下列表格,通过观察后再回答问题.
| a | … | 0.000001 | 0.0001 | 0.01 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sqrt{a}$ | … | 0.001 | 0.01 | 0.1 |
| a | 1 | 100 | 10000 | … |
| $\sqrt{a}$ | 1 | 10 | 100 | … |
(1)被开方数 a 的小数点位置移动和它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点位置移动有无规律?
有规律，被开方数$a$的小数点每向左（或向右）移动$2$位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向左（或向右）移动$1$位。
(2)已知:$\sqrt{a}=1800,-\sqrt{3.24}=-1.8$,你能求出 a 的值吗?
$a = 3.24×10^{6}$
(3)试比较$\sqrt{a}$与 a 的大小.
当$a = 0$或$a = 1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0\lt a\lt1$时，$\sqrt{a}\gt a$；当$a\gt1$时，$\sqrt{a}\lt a$。

答案： 表格中$\sqrt{a}$依次为：$0.001$；$0.01$；$0.1$；$1$；$10$；$100$。
(1)有规律，被开方数$a$的小数点每向左（或向右）移动$2$位，它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点就相应地向左（或向右）移动$1$位。
(2)$a = 3.24\times10^{6}$。
(3)当$a = 0$或$a = 1$时，$\sqrt{a}=a$；当$0\lt a\lt1$时，$\sqrt{a}\gt a$；当$a\gt1$时，$\sqrt{a}\lt a$。

22. 阅读题:先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题.
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2};\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3};\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4};$
…
$\frac{1}{2×4}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4});\frac{1}{4×6}=\frac{1}{2}(\frac{1}{4}-\frac{1}{6});\frac{1}{6×8}=\frac{1}{2}(\frac{1}{6}-\frac{1}{8});$
…
(1)计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}=$$\frac{5}{6}$;
(2)探究$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+... +\frac{1}{n(n+1)}=$$\frac{n}{n+1}$(用含有 n 的式子表示);
(3)若$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+... +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$的值为$\frac{49}{99}$,求 n 的平方根. $\pm7$

答案： $(1)$计算$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}$的值
根据已知规律$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$，将原式进行转化：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\\=&1-\frac{1}{6}\\=&\frac{5}{6}\end{aligned}$
$(2)$探究$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+... +\frac{1}{n(n+1)}$的表达式
同样根据$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$，对原式进行转化：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+... +\frac{1}{n(n+1)}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})\\=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}\\=&1-\frac{1}{n + 1}\\=&\frac{n + 1-1}{n + 1}\\=&\frac{n}{n + 1}\end{aligned}$
$(3)$求$n$的平方根
根据$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$，对$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+... +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$进行转化：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+... +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}\\=&\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})]\\=&\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})\\=&\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})\\=&\frac{1}{2}\times\frac{2n + 1-1}{2n + 1}\\=&\frac{n}{2n + 1}\end{aligned}$
已知$\frac{n}{2n + 1}=\frac{49}{99}$，
交叉相乘得：$99n = 49\times(2n + 1)$，
展开括号：$99n = 98n + 49$，
移项得：$99n-98n = 49$，
解得$n = 49$。
因为$(\pm7)^2 = 49$，所以$n$的平方根是$\pm7$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{5}{6}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{n}{n + 1}}$；$(3)$$\boldsymbol{\pm7}$。