《2025年暑假Happy假日七年级理综》

21. 已知$AB// CD,AM$平分$∠BAP$.
(1)如图1,当点$P,M$在$CD$上时,写出$∠APC$与$∠AMC$的数量关系,并说明理由;
$\angle APC = 2\angle AMC$
理由：
因为$AB// CD$，所以$\angle BAP=\angle APC$（两直线平行，内错角相等），$\angle BAM = \angle AMC$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AM$平分$\angle BAP$，所以$\angle BAP = 2\angle BAM$。
由$\angle BAP=\angle APC$，$\angle BAM = \angle AMC$，可得$\angle APC = 2\angle AMC$。
(2)如图2,当点$P$在$AB,CD$之间,且在$AC$连线右侧,点$M$仍在$CD$上时,请直接写出$∠P,∠C,∠AMC$间的数量关系(不用说明理由);
$\angle P+\angle C = 2\angle AMC$
(3)如图3,当点$P,M$都在$CD$下方,且点$P$在$CM$上时,探索$∠APC,∠C,∠AMC$间的数量关系,并说明理由.
$\angle APC+\angle AMC=\angle C$
理由：
设$\angle BAM=\angle PAM = x$。
因为$AB// CD$，所以$\angle BAC=\angle C$（两直线平行，内错角相等），$\angle BAM=\angle AMC$（两直线平行，内错角相等），即$\angle AMC = x$。
又因为$\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC$，$\angle BAP = 2x$，$\angle APC+\angle PAC=\angle BAP$（三角形外角性质：$\angle BAP$是$\triangle APE$的外角，$\angle BAP=\angle APC+\angle PAC$）。
所以$\angle C=\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC=( \angle APC+\angle PAC)+\angle PAC$，$\angle AMC=\angle BAM = x$，$\angle BAP = 2x$。
由$\angle BAP=\angle APC + 2\angle PAC$，$\angle BAC=\angle C$，$\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC$，可得$\angle C=\angle APC+\angle AMC$（因为$\angle BAM=\angle AMC$，$\angle BAP = 2\angle BAM$，$\angle BAP=\angle APC+\angle PAC$，$\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC$，经过等量代换：$\angle C=\angle APC+\angle AMC$）。

答案： 1. （1）
解：$\angle APC = 2\angle AMC$。
理由：
因为$AB// CD$，所以$\angle BAP=\angle APC$（两直线平行，内错角相等），$\angle BAM = \angle AMC$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$AM$平分$\angle BAP$，所以$\angle BAP = 2\angle BAM$。
由$\angle BAP=\angle APC$，$\angle BAM = \angle AMC$，可得$\angle APC = 2\angle AMC$。
2. （2）
答案：$\angle P+\angle C = 2\angle AMC$。
3. （3）
解：$\angle APC+\angle AMC=\angle C$。
理由：
设$\angle BAM=\angle PAM = x$。
因为$AB// CD$，所以$\angle BAC=\angle C$（两直线平行，内错角相等），$\angle BAM=\angle AMC$（两直线平行，内错角相等），即$\angle AMC = x$。
又因为$\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC$，$\angle BAP = 2x$，$\angle APC+\angle PAC=\angle BAP$（三角形外角性质：$\angle BAP$是$\triangle APE$的外角，$\angle BAP=\angle APC+\angle PAC$）。
所以$\angle C=\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC=( \angle APC+\angle PAC)+\angle PAC$，$\angle AMC=\angle BAM = x$，$\angle BAP = 2x$。
由$\angle BAP=\angle APC + 2\angle PAC$，$\angle BAC=\angle C$，$\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC$，可得$\angle C=\angle APC+\angle AMC$（因为$\angle BAM=\angle AMC$，$\angle BAP = 2\angle BAM$，$\angle BAP=\angle APC+\angle PAC$，$\angle BAC=\angle BAP+\angle PAC=\angle C$，经过等量代换：$\angle C=\angle APC+\angle AMC$）。
综上，（1）$\angle APC = 2\angle AMC$；（2）$\angle P+\angle C = 2\angle AMC$；（3）$\angle APC+\angle AMC=\angle C$。

算蜜蜂
公园里有甲、乙两种花,有一群蜜蜂飞来,在甲花上落下$\frac {1}{5}$,在乙花上落下$\frac {1}{3}$.如果剩下的蜜蜂又有一部分落在花上,且数量是之前落在甲、乙两种花上数量差的3倍,那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞着.算一算,这里聚集了多少只蜜蜂?

答案： 15只