《2025年暑假Happy假日七年级理综》

19. 如图,$∠ACD=70^{\circ },∠ACB=60^{\circ },∠B=50^{\circ }$. 求证:$AB// CD$.

证明：在$\triangle ABC$中，$\angle A = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle B = 180^{\circ}-60^{\circ}-50^{\circ}=$$70^{\circ}$，因为$\angle ACD = 70^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ACD$，根据内错角相等，两直线平行，所以$AB// CD$。

答案： 在$\triangle ABC$中，$\angle A = 180^{\circ}-\angle ACB-\angle B = 180^{\circ}-60^{\circ}-50^{\circ}=70^{\circ}$，因为$\angle ACD = 70^{\circ}$，所以$\angle A=\angle ACD$，根据内错角相等，两直线平行，所以$AB// CD$。

20. 如图,已知$∠1=∠BDE,∠2+∠3=180^{\circ }$.
(1)求证:$AD// EF$;
证明：因为$\angle1 = \angle BDE$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AC// DE$。
由$AC// DE$，根据“两直线平行，内错角相等”，则$\angle2=\angle ADE$。
又因为$\angle2+\angle3 = 180^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle3 = 180^{\circ}$。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AD// EF$。
(2)若DA平分$∠BDE,EF⊥AF,∠1=40^{\circ }$,求$∠BAC$的度数.
解：因为$\angle1=\angle BDE = 40^{\circ}$，$DA$平分$\angle BDE$，根据角平分线定义，$\angle ADE=\frac{1}{2}\angle BDE$，所以$\angle ADE = $$20^{\circ}$。
由（1）知$\angle2=\angle ADE$，所以$\angle2 = $$20^{\circ}$。
因为$AD// EF$，$EF\perp AF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$\angle DAF=\angle F = 90^{\circ}$。
那么$\angle BAC=$$\angle DAF-\angle2$。
把$\angle DAF = 90^{\circ}$，$\angle2 = 20^{\circ}$代入可得$\angle BAC=$$70^{\circ}$。

答案： 1. （1）证明$AD// EF$：
因为$\angle1 = \angle BDE$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AC// DE$。
由$AC// DE$，根据“两直线平行，内错角相等”，则$\angle2=\angle ADE$。
又因为$\angle2+\angle3 = 180^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle3 = 180^{\circ}$。
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AD// EF$。
2. （2）求$\angle BAC$的度数：
因为$\angle1=\angle BDE = 40^{\circ}$，$DA$平分$\angle BDE$，根据角平分线定义，$\angle ADE=\frac{1}{2}\angle BDE$，所以$\angle ADE = 20^{\circ}$。
由（1）知$\angle2=\angle ADE$，所以$\angle2 = 20^{\circ}$。
因为$AD// EF$，$EF\perp AF$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$\angle DAF=\angle F = 90^{\circ}$。
那么$\angle BAC=\angle DAF-\angle2$。
把$\angle DAF = 90^{\circ}$，$\angle2 = 20^{\circ}$代入可得$\angle BAC=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
综上，（1）得证$AD// EF$；（2）$\angle BAC$的度数为$70^{\circ}$。

21. 如图1,直线EF上有两点A,C,分别引两条射线AB,CD,$∠BAF=110^{\circ }$,CD与AB在直线EF异侧.
(1)若$∠DCF=70^{\circ }$,试判断射线AB与CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,若$∠DCF=60^{\circ }$,射线AB,CD分别绕点A,点C以$1^{\circ }/s$和$6^{\circ }/s$的速度同时顺时针转动,设转动时间为t s,在射线CD转动一周的时间内,是否存在某一时刻,使得CD与AB平行? 若存在,求出满足条件的t值;若不存在,请说明理由.
(1)判断射线AB与CD的位置关系
解：AB//CD。
理由如下：
因为$\angle BAF + \angle BAE=180^{\circ}$（邻补角定义），$\angle BAF = 110^{\circ}$，所以$\angle BAE = 180^{\circ}-\angle BAF=180^{\circ}- 110^{\circ}=70^{\circ}$。
又因为$\angle DCF = 70^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle DCF$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
(2)探究是否存在t使$CD// AB$
解：存在。
$\angle BAE = 180^{\circ}-\angle BAF = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$，$\angle DCF = 60^{\circ}$。
射线$AB$绕点$A$以$1^{\circ}/s$的速度顺时针转动$t$秒后，$\angle BAE$的度数为$(70 - t)^{\circ}$；
射线$CD$绕点$C$以$6^{\circ}/s$的速度顺时针转动$t$秒后，$\angle DCF$的度数为$(60 + 6t)^{\circ}$。
当$AB// CD$时，分两种情况：
情况一：
根据“同位角相等，两直线平行”，$\angle BAE=\angle DCF$，即$70 - t=60 + 6t$。
移项可得：$-t-6t=60 - 70$，
合并同类项：$-7t=-10$，
解得：$t=$$\frac{10}{7}$。
情况二：
当$AB$与$CD$反向平行时，$\angle BAE+\angle DCF = 180^{\circ}$，即$(70 - t)+(60 + 6t)=180$。
去括号：$70 - t+60 + 6t=180$，
移项：$-t + 6t=180-70 - 60$，
合并同类项：$5t=50$，
解得：$t=$10。
因为射线$CD$转动一周的时间为$\frac{360}{6}=60s$，$\frac{10}{7}\lt60$，$10\lt60$。
所以$t$的值为$\frac{10}{7}$或10。

答案： $(1)$ 判断射线$AB$与$CD$的位置关系
解：$AB// CD$。
理由如下：
因为$\angle BAF + \angle BAE=180^{\circ}$（邻补角定义），$\angle BAF = 110^{\circ}$，所以$\angle BAE = 180^{\circ}-\angle BAF=180^{\circ}- 110^{\circ}=70^{\circ}$。
又因为$\angle DCF = 70^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle DCF$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// CD$。
$(2)$ 探究是否存在$t$使$CD// AB$
解：存在。
$\angle BAE = 180^{\circ}-\angle BAF = 180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$，$\angle DCF = 60^{\circ}$。
射线$AB$绕点$A$以$1^{\circ}/s$的速度顺时针转动$t$秒后，$\angle BAE$的度数为$(70 - t)^{\circ}$；
射线$CD$绕点$C$以$6^{\circ}/s$的速度顺时针转动$t$秒后，$\angle DCF$的度数为$(60 + 6t)^{\circ}$。
当$AB// CD$时，分两种情况：
情况一：
根据“同位角相等，两直线平行”，$\angle BAE=\angle DCF$，即$70 - t=60 + 6t$。
移项可得：$-t-6t=60 - 70$，
合并同类项：$-7t=-10$，
解得：$t=\frac{10}{7}$。
情况二：
当$AB$与$CD$反向平行时，$\angle BAE+\angle DCF = 180^{\circ}$，即$(70 - t)+(60 + 6t)=180$。
去括号：$70 - t+60 + 6t=180$，
移项：$-t + 6t=180-70 - 60$，
合并同类项：$5t=50$，
解得：$t = 10$。
因为射线$CD$转动一周的时间为$\frac{360}{6}=60s$，$\frac{10}{7}\lt60$，$10\lt60$。
所以$t$的值为$\boldsymbol{\frac{10}{7}}$或$\boldsymbol{10}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{AB// CD}$；$(2)$$\boldsymbol{t}$的值为$\boldsymbol{\frac{10}{7}}$或$\boldsymbol{10}$ 。