《2025年暑假Happy假日七年级理综》

19. 如图,$DB// FG// EC$,点$A$是$FG$上的一点,$∠ADB=60^{\circ },∠ACE=36^{\circ },AP$平分$∠CAD$,求$∠PAG$的度数.

解：
因为$DB// FG// EC$，
根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle DAG = \angle ADB = 60^{\circ}$，$\angle CAG=\angle ACE = 36^{\circ}$。
则$\angle CAD=\angle DAG+\angle CAG=60^{\circ}+36^{\circ}=96^{\circ}$。
因为$AP$平分$\angle CAD$，所以$\angle CAP=\frac{1}{2}\angle CAD=\frac{1}{2}×96^{\circ}=48^{\circ}$。
所以$\angle PAG=\angle CAP - \angle CAG=48^{\circ}-36^{\circ}=12^{\circ}$。
综上，$\angle PAG$的度数为12°。

答案： 解：
因为$DB// FG// EC$，
根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle DAG = \angle ADB = 60^{\circ}$，$\angle CAG=\angle ACE = 36^{\circ}$。
则$\angle CAD=\angle DAG+\angle CAG=60^{\circ}+36^{\circ}=96^{\circ}$。
因为$AP$平分$\angle CAD$，所以$\angle CAP=\frac{1}{2}\angle CAD=\frac{1}{2}\times96^{\circ}=48^{\circ}$。
所以$\angle PAG=\angle CAP - \angle CAG=48^{\circ}-36^{\circ}=12^{\circ}$。
综上，$\angle PAG$的度数为$12^{\circ}$。

20. (1)如图1,已知$AB// CD$,则$∠E+∠G$与$∠B+∠F+∠D$有何关系? 并说明理由;
答：$\angle E+\angle G=\angle B+\angle F+\angle D$
(2)如图2,若$AB// CD$,又能得到什么结论? 请直接写出结论.
答：$\angle E_{1}+\angle E_{2}+\cdots+\angle E_{n}=\angle B+\angle F_{1}+\angle F_{2}+\cdots+\angle F_{n - 1}+\angle D$

答案： $(1)$ 探究$\angle E+\angle G$与$\angle B+\angle F+\angle D$的关系
解：$\angle E+\angle G=\angle B+\angle F+\angle D$。
理由如下：
过点$E$作$EM// AB$，过点$F$作$FN// AB$，过点$G$作$GH// CD$。
因为$AB// CD$，根据平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以$AB// EM// FN// GH// CD$。
根据两直线平行，内错角相等：
因为$AB// EM$，所以$\angle B = \angle BEM$；
因为$EM// FN$，所以$\angle MEF=\angle EFN$；
因为$FN// GH$，所以$\angle NFG=\angle FGH$；
因为$GH// CD$，所以$\angle HGD=\angle D$。
而$\angle E=\angle BEM + \angle MEF$，$\angle G=\angle FGH+\angle HGD$，$\angle F=\angle EFN+\angle NFG$。
所以$\angle E+\angle G=\angle BEM+\angle MEF+\angle FGH+\angle HGD=\angle B+\angle EFN+\angle NFG+\angle D=\angle B+\angle F+\angle D$。
$(2)$ 探究图$2$中的结论
结论：$\angle E_{1}+\angle E_{2}+\cdots+\angle E_{n}=\angle B+\angle F_{1}+\angle F_{2}+\cdots+\angle F_{n - 1}+\angle D$ 。
综上，$(1)$ $\boldsymbol{\angle E+\angle G=\angle B+\angle F+\angle D}$；$(2)$ $\boldsymbol{\angle E_{1}+\angle E_{2}+\cdots+\angle E_{n}=\angle B+\angle F_{1}+\angle F_{2}+\cdots+\angle F_{n - 1}+\angle D}$ 。