《2025年暑假作业兰州大学出版社七年级数学北师大版》

13. 如图，在$Rt\triangle ACB$中，$∠ACB = 90^{\circ}$，$\triangle ABC$的角平分线$AD$，$BE$相交于点$P$，过点$P$作$PF\perp AD$交$BC$的延长线于点$F$，交$AC$于点$H$。
（1）求$∠APB$的度数；
（2）试说明$\triangle ABP\cong \triangle FBP$；
（3）试说明$AB = AH + BD$。

答案：
(1) $ \angle A P B = 135 ^ { \circ } $。
(2) 因为 $ \angle A P B = 135 ^ { \circ } $，所以 $ \angle D P B = 45 ^ { \circ } $。因为 $ P F \perp A D $，所以 $ \angle B P F = 135 ^ { \circ } $。在 $ \triangle A B P $ 和 $ \triangle F B P $ 中，$ \angle B P F = \angle B P A = 135 ^ { \circ } $，$ B P = B P $，$ \angle A B P = \angle F B P $，所以 $ \triangle A B P \cong \triangle F B P $。
(3) 因为 $ \triangle A B P \cong \triangle F B P $，所以 $ \angle F = \angle B A D $，$ A P = P F $，$ A B = B F $。因为 $ \angle B A D = \angle C A D $，所以 $ \angle F = \angle C A D $。在 $ \triangle A P H $ 和 $ \triangle F P D $ 中，$ \angle F = \angle C A D $，$ A P = P F $，$ \angle A P H = \angle F P D = 90 ^ { \circ } $，所以 $ \triangle A P H \cong \triangle F P D $，所以 $ A H = D F $。因为 $ B F = D F + B D $，所以 $ A B = A H + B D $。