《2025年暑假作业兰州大学出版社七年级数学北师大版》

14. 如图，已知$AM// BN$，$∠A=60^{\circ}$，点$P$是射线$AM$上一动点（与点$A$不重合），$BC$平分$∠ABP$，$BD$平分$∠PBN$，分别交射线$AM$于点$C$，$D$。
（1）求$∠CBD$的度数；
（2）当点$P$运动时，$∠APB:∠ADB$的值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点$P$运动到某处时，$∠ACB=∠ABD$，求此时$∠ABC$的度数。

答案：
(1) 因为 $ AM // BN $，所以 $ \angle ABN=180^{\circ}-\angle A=120^{\circ} $。因为 $ BC $ 平分 $ \angle ABP $，$ BD $ 平分 $ \angle PBN $，所以 $ \angle CBD=\angle CBP+\angle DBP=\frac{1}{2}(\angle ABP+\angle PBN)=\frac{1}{2}\angle ABN=60^{\circ} $。
(2) 不变，因为 $ AM // BN $，所以 $ \angle APB=\angle PBN $，$ \angle ADB=\angle DBN $。因为 $ BD $ 平分 $ \angle PBN $，所以 $ \angle ADB=\angle DBN=\frac{1}{2}\angle PBN=\frac{1}{2}\angle APB $，即 $ \angle APB:\angle ADB=2:1=2 $。
(3) 因为 $ AM // BN $，所以 $ \angle ACB=\angle CBN $。因为 $ \angle ACB=\angle ABD $，所以 $ \angle CBN=\angle ABD $。所以 $ \angle ABC=\angle ABD-\angle CBD=\angle CBN-\angle CBD=\angle DBN $。所以 $ \angle ABC=\angle CBP=\angle DBP=\angle DBN $。所以 $ \angle ABC=\frac{1}{4}\angle ABN=30^{\circ} $。