《2025年暑假作业兰州大学出版社七年级数学北师大版》

【典例剖析】如图，已知 $ AB // CD $。探究：$ \angle ABP $，$ \angle BPC $，$ \angle PCD $三者关系。

答案： 解：
(1)过点 $ P $ 作 $ PH // AB $，
$ \because AB // CD $，
$ \therefore PH // AB // CD $，
$ \therefore \angle ABP = \angle BPH $，$ \angle DCP = \angle CPH $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP = \angle BPH + \angle CPH $。
又 $ \angle BPH + \angle CPH = \angle BPC $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP = \angle BPC $。
(2)过点 $ P $ 作 $ PH // AB $，
$ \because AB // CD $，
$ \therefore PH // AB // CD $，
$ \therefore \angle ABP = \angle BPH $，$ \angle DCP = \angle CPH $，
$ \therefore \angle DCP - \angle ABP = \angle CPH - \angle BPH $。
又 $ \angle CPH - \angle BPH = \angle BPC $，
$ \therefore \angle DCP = \angle ABP + \angle BPC $。
(3)
(4)
(5)与
(2)证法相同。
结论：两条直线平行，拐点无论是在两直线之间还是在两直线同侧，都有较大的角等于较小的两个角之和。
(6)过点 $ P $ 作 $ PH // AB $，
$ \because AB // CD $，
$ \therefore PH // AB // CD $，
$ \therefore \angle ABP + \angle BPH = 180 ^ { \circ } $，$ \angle DCP + \angle CPH = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP + \angle BPH + \angle CPH = 360 ^ { \circ } $。
又 $ \angle BPH + \angle CPH = \angle BPC $，
$ \therefore \angle ABP + \angle DCP + \angle BPC = 360 ^ { \circ } $。
结论：拐点在两平行线之间且外凸，则有三个角之和等于 $ 360 ^ { \circ } $。