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8. 《数书九章》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1500 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 300 粒内夹谷 30 粒. 则这批米内夹谷约为(
A.30 石
B.50 石
C.150 石
D.300 石
C
)A.30 石
B.50 石
C.150 石
D.300 石
答案：
C
9. 如图,在三角形$ABC$中,$BE是AC$边上的高,$DE// BC,∠ADE = 45^{\circ },∠C = 65^{\circ }$,求$∠ABE$的度数.
20°
答案：
解：
- 因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle ABC=\angle ADE = 45^{\circ}$。
- 因为$BE$是$AC$边上的高，所以$\angle BEC = 90^{\circ}$。
- 在$\triangle BEC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle EBC+\angle BEC+\angle C = 180^{\circ}$，已知$\angle C = 65^{\circ}$，$\angle BEC = 90^{\circ}$，则$\angle EBC=180^{\circ}-\angle BEC - \angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
- 又因为$\angle ABE=\angle ABC-\angle EBC$，把$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle EBC = 25^{\circ}$代入可得：$\angle ABE=45^{\circ}-25^{\circ}=20^{\circ}$。
综上，$\angle ABE$的度数为$20^{\circ}$。
- 因为$DE// BC$，根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle ABC=\angle ADE = 45^{\circ}$。
- 因为$BE$是$AC$边上的高，所以$\angle BEC = 90^{\circ}$。
- 在$\triangle BEC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle EBC+\angle BEC+\angle C = 180^{\circ}$，已知$\angle C = 65^{\circ}$，$\angle BEC = 90^{\circ}$，则$\angle EBC=180^{\circ}-\angle BEC - \angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
- 又因为$\angle ABE=\angle ABC-\angle EBC$，把$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle EBC = 25^{\circ}$代入可得：$\angle ABE=45^{\circ}-25^{\circ}=20^{\circ}$。
综上，$\angle ABE$的度数为$20^{\circ}$。
10. 为了分析学生参加“垃圾分类,人人有责”知识竞赛的成绩,指导老师对全体参赛选手的竞赛成绩(单位:分)进行统计,结果如下:
91 68 73 90 87 71 61 75 82 77 80 82 93 85 76
78 87 74 88 65 72 86 71 69 72 79 81 90 66 70
75 82 77 78 75 85 72 95 80 79 77 78 83 80 83
当分数在$60\sim 74$时,成绩为及格;当分数在$75\sim 84$时,成绩为良好;当分数在$85\sim 100$时,成绩为优秀. 请用扇形图表示出及格、良好、优秀所占的百分比.
91 68 73 90 87 71 61 75 82 77 80 82 93 85 76
78 87 74 88 65 72 86 71 69 72 79 81 90 66 70
75 82 77 78 75 85 72 95 80 79 77 78 83 80 83
当分数在$60\sim 74$时,成绩为及格;当分数在$75\sim 84$时,成绩为良好;当分数在$85\sim 100$时,成绩为优秀. 请用扇形图表示出及格、良好、优秀所占的百分比.
答案：
【解析】：
1. 首先，统计各成绩段的人数：
统计及格（$60 - 74$分）的人数：
逐一分析数据$91,68,73,90,87,71,61,75,82,77,80,82,93,85,76,78,87,74,88,65,72,86,71,69,72,79,81,90,66,70,75,82,77,78,75,85,72,95,80,79,77,78,83,80,83$。
分数在$60 - 74$的有$68,73,71,61,74,65,72,71,69,72,66,70,72$，共$13$人。
统计良好（$75 - 84$分）的人数：
分数在$75 - 84$的有$75,82,77,80,82,76,78,75,82,77,78,75,80,79,81,79,77,78,83,80,83$，共$21$人。
统计优秀（$85 - 100$分）的人数：
分数在$85 - 100$的有$91,90,87,93,85,87,88,86,90,85,95$，共$11$人。
2. 然后，计算总人数：
总人数$n=13 + 21+11 = 45$人。
3. 接着，计算各成绩段所占的百分比：
及格人数所占百分比：$\frac{13}{45}×100\%\approx28.9\%$。
良好人数所占百分比：$\frac{21}{45}×100\%\approx46.7\%$。
优秀人数所占百分比：$\frac{11}{45}×100\%\approx24.4\%$。
4. 最后，计算各成绩段在扇形图中对应的圆心角的度数：
及格对应的圆心角度数：$360^{\circ}×28.9\% \approx 104^{\circ}$。
良好对应的圆心角度数：$360^{\circ}×46.7\% \approx 168^{\circ}$。
优秀对应的圆心角度数：$360^{\circ}×24.4\% \approx 88^{\circ}$。
绘制扇形图时，以一个圆代表全体参赛选手，根据上述圆心角度数分别画出表示及格、良好、优秀的扇形，并在扇形中标明相应的百分比。
【答案】：及格人数所占百分比约为$28.9\%$，对应的圆心角约为$104^{\circ}$；良好人数所占百分比约为$46.7\%$，对应的圆心角约为$168^{\circ}$；优秀人数所占百分比约为$24.4\%$，对应的圆心角约为$88^{\circ}$。
1. 首先，统计各成绩段的人数：
统计及格（$60 - 74$分）的人数：
逐一分析数据$91,68,73,90,87,71,61,75,82,77,80,82,93,85,76,78,87,74,88,65,72,86,71,69,72,79,81,90,66,70,75,82,77,78,75,85,72,95,80,79,77,78,83,80,83$。
分数在$60 - 74$的有$68,73,71,61,74,65,72,71,69,72,66,70,72$，共$13$人。
统计良好（$75 - 84$分）的人数：
分数在$75 - 84$的有$75,82,77,80,82,76,78,75,82,77,78,75,80,79,81,79,77,78,83,80,83$，共$21$人。
统计优秀（$85 - 100$分）的人数：
分数在$85 - 100$的有$91,90,87,93,85,87,88,86,90,85,95$，共$11$人。
2. 然后，计算总人数：
总人数$n=13 + 21+11 = 45$人。
3. 接着，计算各成绩段所占的百分比：
及格人数所占百分比：$\frac{13}{45}×100\%\approx28.9\%$。
良好人数所占百分比：$\frac{21}{45}×100\%\approx46.7\%$。
优秀人数所占百分比：$\frac{11}{45}×100\%\approx24.4\%$。
4. 最后，计算各成绩段在扇形图中对应的圆心角的度数：
及格对应的圆心角度数：$360^{\circ}×28.9\% \approx 104^{\circ}$。
良好对应的圆心角度数：$360^{\circ}×46.7\% \approx 168^{\circ}$。
优秀对应的圆心角度数：$360^{\circ}×24.4\% \approx 88^{\circ}$。
绘制扇形图时，以一个圆代表全体参赛选手，根据上述圆心角度数分别画出表示及格、良好、优秀的扇形，并在扇形中标明相应的百分比。
【答案】：及格人数所占百分比约为$28.9\%$，对应的圆心角约为$104^{\circ}$；良好人数所占百分比约为$46.7\%$，对应的圆心角约为$168^{\circ}$；优秀人数所占百分比约为$24.4\%$，对应的圆心角约为$88^{\circ}$。
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