《2025年新课堂暑假生活七年级数学》

5. 如图,AB,CD 是河的两岸,并且$AB// CD$,点 E 为直线 AB,CD 外一点,现想过点 E 作岸 CD 的平行线,请写出作法,并说明理由.
作法：连接$E$与$AB$上一点$F$得直线$EF$，过$E$作$\angle HEF=\angle EFD$（$H$在新作直线上），直线$EH$即为所求；理由：先由内错角相等得$EH// AB$，再由平行公理推论得$EH// CD$。

答案： 【解析】：
1. 作法：
连接$E$与$AB$上任意一点（设为点$F$），作直线$EF$。
过点$E$作$\angle HEF=\angle EFD$（$H$为新作直线上一点），则直线$EH$就是所求作的$CD$的平行线。
2. 理由：
因为$AB// CD$，根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等），若$\angle HEF = \angle EFD$，再根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行），可得$EH// AB$。
又因为$AB// CD$，根据平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以$EH// CD$。
【答案】：
作法：连接$E$与$AB$上一点$F$得直线$EF$，过$E$作$\angle HEF=\angle EFD$（$H$在新作直线上），直线$EH$即为所求；理由：先由内错角相等得$EH// AB$，再由平行公理推论得$EH// CD$。

6. 如图,直线 AB,CD 被直线 EF 所截,点 G,H 为它们的交点,$∠AGE$与它的同位角相等,HP 平分$∠GHD,∠AGH:∠BGH= 3:5$,求$∠CHG$与$∠PHD$的度数.
$∠CHG=$$112.5^{\circ}$,$∠PHD=$$33.75^{\circ}$.

答案： 解：
因为$\angle AGH:\angle BGH = 3:5$，$\angle AGH+\angle BGH = 180^{\circ}$（邻补角定义），
设$\angle AGH = 3x$，$\angle BGH = 5x$，则$3x + 5x=180^{\circ}$，
$8x = 180^{\circ}$，解得$x = 22.5^{\circ}$，
所以$\angle AGH=3×22.5^{\circ}=67.5^{\circ}$，$\angle BGH = 5×22.5^{\circ}=112.5^{\circ}$。
因为$\angle AGE$与它的同位角相等，所以$AB// CD$（同位角相等，两直线平行）。
所以$\angle CHG=\angle BGH = 112.5^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），
$\angle GHD=\angle AGH = 67.5^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
因为$HP$平分$\angle GHD$，所以$\angle PHD=\frac{1}{2}\angle GHD=33.75^{\circ}$。
综上，$\angle CHG = 112.5^{\circ}$，$\angle PHD = 33.75^{\circ}$。

7. 如图,平面镜甲与乙之间的夹角为$110^{\circ }$,光线经平面镜甲反射到平面镜乙上,再反射出去,若$∠1= ∠2$,求$∠1$的度数.$35^{\circ }$

答案： 7. $ 35 ^ { \circ } $