《2025年新课堂暑假生活七年级数学》

10. 某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,计划利用这两种原料生产 A,B 两种产品共 50 件. 生产一件 A 产品需要甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利润 700 元；生产一件 B 产品需要甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,可获利润 1200 元.
(1)按要求安排 A,B 两种产品的生产件数,有哪几种方案？请你设计出来.
(2)设生产 A,B 两种产品所获总利润为 y 元,其中 A 产品的生产件数为 x,试用含 x 的式子表示 y,并说明(1)中哪种生产方案所获总利润最大,最大利润是多少.

答案： 【解析】：
(1)设生产$A$产品$x$件，则生产$B$产品$(50 - x)$件。
根据现有甲、乙两种原料的数量列出不等式组：
对于甲种原料：$9x + 4(50 - x)\leq360$，
去括号得$9x+200 - 4x\leq360$，
移项合并得$5x\leq160$，
解得$x\leq32$。
对于乙种原料：$3x + 10(50 - x)\leq290$，
去括号得$3x + 500-10x\leq290$，
移项合并得$- 7x\leq - 210$，
两边同时除以$-7$，不等号变向，解得$x\geq30$。
所以$x$的取值范围是$30\leq x\leq32$。
因为$x$为整数，所以$x$的值为$30$，$31$，$32$。
当$x = 30$时，$50 - x=50 - 30 = 20$；
当$x = 31$时，$50 - x=50 - 31 = 19$；
当$x = 32$时，$50 - x=50 - 32 = 18$。
故有三种方案：
方案一：生产$A$产品$30$件，$B$产品$20$件；
方案二：生产$A$产品$31$件，$B$产品$19$件；
方案三：生产$A$产品$32$件，$B$产品$18$件。
(2)已知$A$产品的生产件数为$x$，则$B$产品的生产件数为$(50 - x)$件。
因为生产一件$A$产品可获利润$700$元，生产一件$B$产品可获利润$1200$元，所以总利润$y = 700x+1200(50 - x)$，
去括号得$y = 700x + 60000-1200x$，
合并同类项得$y=-500x + 60000$。
因为$k=-500\lt0$，所以$y$随$x$的增大而减小。
由
(1)知$x$的取值为$30$，$31$，$32$，所以当$x = 30$时，$y$有最大值。
把$x = 30$代入$y=-500x + 60000$得：
$y=-500×30 + 60000=-15000 + 60000 = 45000$（元）。
【答案】：
(1)有三种方案：方案一：生产$A$产品$30$件，$B$产品$20$件；方案二：生产$A$产品$31$件，$B$产品$19$件；方案三：生产$A$产品$32$件，$B$产品$18$件。
(2)$y=-500x + 60000$；方案一（生产$A$产品$30$件，$B$产品$20$件）所获总利润最大，最大利润是$45000$元。