《2025年新课堂暑假生活七年级数学》

10. 解不等式组:
(1) $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 5 ＜ 0, } \\ { x - 2 ( x + 1 ) ＜ 0 ; } \end{array} \right. $
(2) $ \left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 1 ＞ 5 ( x - 1 ), } \\ { \frac { 4 } { 3 } x - 6 \geq \frac { 6 - 5 x } { 3 }. } \end{array} \right. $

答案： $(1)$ 解不等式组$\begin{cases}2x - 5\lt0 \\x - 2(x + 1)\lt0 \end{cases}$
- **解不等式$2x - 5\lt0$：
移项可得$2x\lt5$，
两边同时除以$2$，解得$x\lt\frac{5}{2}$。
- **解不等式$x - 2(x + 1)\lt0$：
去括号得$x-2x - 2\lt0$，
合并同类项得$-x - 2\lt0$，
移项得$-x\lt2$，
两边同时乘以$-1$，不等号变向，解得$x\gt - 2$。
综合两个不等式的解$x\lt\frac{5}{2}$与$x\gt - 2$，所以不等式组的解集为$-2\lt x\lt\frac{5}{2}$。
$(2)$ 解不等式组$\begin{cases}3x + 1\gt5(x - 1)\\frac{4}{3}x-6\geq\frac{6 - 5x}{3} \end{cases}$
- **解不等式$3x + 1\gt5(x - 1)$：
去括号得$3x + 1\gt5x - 5$，
移项得$3x-5x\gt - 5 - 1$，
合并同类项得$-2x\gt - 6$，
两边同时除以$-2$，不等号变向，解得$x\lt3$。
- **解不等式$\frac{4}{3}x-6\geq\frac{6 - 5x}{3}$：
两边同时乘以$3$去分母得$4x-18\geq6 - 5x$，
移项得$4x + 5x\geq6 + 18$，
合并同类项得$9x\geq24$，
两边同时除以$9$，解得$x\geq\frac{8}{3}$。
综合两个不等式的解$x\lt3$与$x\geq\frac{8}{3}$，所以不等式组的解集为$\frac{8}{3}\leq x\lt3$。
综上，$(1)$的解集为$\boldsymbol{-2\lt x\lt\frac{5}{2}}$；$(2)$的解集为$\boldsymbol{\frac{8}{3}\leq x\lt3}$。

11. 分别解不等式 $ 2 x - 3 \leq 5 ( x - 3 ) $ 和 $ \frac { y - 1 } { 6 } - \frac { y + 1 } { 3 } ＞ 1 $,并比较 $ x, y $ 的大小.

答案： 解：
1. 解不等式$2x - 3\leq5(x - 3)$
- 去括号：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，可得$2x - 3\leq5x-15$。
- 移项：
将含有$x$的项移到一边，常数项移到另一边，得到$2x-5x\leq - 15 + 3$。
- 合并同类项：
$2x-5x=-3x$，$-15 + 3=-12$，则$-3x\leq - 12$。
- 系数化为$1$：
不等式两边同时除以$-3$，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得$x\geq4$。
2. 解不等式$\frac{y - 1}{6}-\frac{y + 1}{3}\gt1$
- 去分母：
不等式两边同时乘以$6$（$6$是$6$和$3$的最小公倍数），得到$(y - 1)-2(y + 1)\gt6$。
- 去括号：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，可得$y - 1-2y-2\gt6$。
- 移项：
将含有$y$的项移到一边，常数项移到另一边，得到$y-2y\gt6 + 1+2$。
- 合并同类项：
$y-2y=-y$，$6 + 1+2 = 9$，则$-y\gt9$。
- 系数化为$1$：
不等式两边同时除以$-1$，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得$y\lt - 9$。
3. 比较$x$和$y$的大小
因为$x\geq4$，$y\lt - 9$，所以$x\gt y$。
综上，不等式$2x - 3\leq5(x - 3)$的解为$x\geq4$；不等式$\frac{y - 1}{6}-\frac{y + 1}{3}\gt1$的解为$y\lt - 9$；$x$和$y$的大小关系为$x\gt y$。

12. 有人问一位老师,他所教的班有多少名学生,老师说:“现在班中有一半的学生在做数学作业,四分之一的学生在做语文作业,七分之一的学生在做英语作业,还剩不足 6 个学生在操场踢足球.”这个班一共有多少名学生?

答案： 解：设这个班一共有$x$名学生。
做数学作业的学生有$\frac{1}{2}x$名，做语文作业的学生有$\frac{1}{4}x$名，做英语作业的学生有$\frac{1}{7}x$名，踢足球的学生有$x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x$名。
化简$x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x$：
$\begin{aligned}x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{7}x&=\frac{28x}{28}-\frac{14x}{28}-\frac{7x}{28}-\frac{4x}{28}\\&=\frac{28x - 14x - 7x - 4x}{28}\\&=\frac{3x}{28}\end{aligned}$
因为还剩不足$6$个学生在操场踢足球，所以$0\lt\frac{3x}{28}\lt6$，解不等式$0\lt\frac{3x}{28}$得$x\gt0$；解不等式$\frac{3x}{28}\lt6$，两边同时乘以$\frac{28}{3}$得$x\lt56$。
又因为$x$是$2$、$4$、$7$的公倍数，$2$、$4$、$7$的最小公倍数是$28$，且$x\lt56$，所以$x = 28$。
综上，这个班一共有$28$名学生。