《2025年新课堂暑假生活七年级数学》

7. 在如图所示的集合圈中,有 5 个实数. 请计算其中有理数的和与无理数的积的差.

$1 - \pi$

答案： 1-π

8. 幼儿园有玩具若干件,分给小朋友,如果每人分 3 件,那么还余 59 件；如果每人分 5 件,那么最后一人能分到玩具但不足 5 件. 这个幼儿园有多少件玩具？有多少个小朋友？

答案： 解：设小朋友有$x$个，则玩具总数为$(3x + 59)$件。
根据题意可得不等式组：
$\begin{cases}3x + 59 ＞ 5(x - 1)\\3x + 59 ＜ 5x\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x + 59 ＞ 5x - 5$
$59 + 5 ＞ 5x - 3x$
$64 ＞ 2x$
$x ＜ 32$
解第二个不等式：
$59 ＜ 5x - 3x$
$59 ＜ 2x$
$x ＞ 29.5$
因为$x$为小朋友的人数，只能为正整数，所以$x = 30$或$x = 31$。
当$x = 30$时，玩具数$3x + 59 = 3×30 + 59 = 149$（件）
当$x = 31$时，玩具数$3x + 59 = 3×31 + 59 = 152$（件）
综上，当小朋友有$30$个时，玩具有$149$件；当小朋友有$31$个时，玩具有$152$件。

9. 已知关于 x 的不等式 (2m - mx)/2 ＞ x/2 - 1.
(1)当 m = 1 时,求该不等式的非负整数解.
(2)m 取何值时,该不等式有解？请求出其解集.

答案： $(1)$ 当$m = 1$时，求不等式的非负整数解
- **步骤一：将$m = 1$代入不等式并求解
当$m = 1$时，原不等式$\frac{2m - mx}{2}＞\frac{x}{2}-1$变为$\frac{2 - x}{2}＞\frac{x}{2}-1$。
去分母（不等式两边同时乘以$2$）得：$2 - x＞x - 2$。
移项（将含$x$的项移到一边）得：$-x - x＞-2 - 2$。
合并同类项得：$-2x＞-4$。
系数化为$1$（不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变）得：$x ＜ 2$。
- **步骤二：找出非负整数解
因为$x ＜ 2$，所以其非负整数解为$0$，$1$。
$(2)$ 求$m$取何值时不等式有解及解集
- **步骤一：对原不等式进行化简
原不等式$\frac{2m - mx}{2}＞\frac{x}{2}-1$，去分母（不等式两边同时乘以$2$）得：$2m - mx＞x - 2$。
移项得：$-mx - x＞-2 - 2m$。
合并同类项得：$-(m + 1)x＞-2(m + 1)$。
- **步骤二：分情况讨论$m$的值
当$m+1 = 0$，即$m=-1$时，$0＞0$，不等式无解。
当$m + 1\neq0$，即$m\neq - 1$时，不等式有解。
当$m + 1＞0$，即$m＞-1$时，系数化为$1$（不等式两边同时除以$-(m + 1)$，不等号方向改变）得：$x ＜ 2$。
当$m + 1＜0$，即$m＜-1$时，系数化为$1$（不等式两边同时除以$-(m + 1)$，不等号方向改变）得：$x＞2$。
综上，$(1)$非负整数解为$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{1}$；$(2)$当$\boldsymbol{m\neq - 1}$时不等式有解，当$\boldsymbol{m＞-1}$时，解集为$\boldsymbol{x ＜ 2}$；当$\boldsymbol{m＜-1}$时，解集为$\boldsymbol{x＞2}$。