《2025年思维新观察九年级数学上册人教版》

1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是(C)
A.$y= 3x-1$
B.$y= ax^{2}+bx+c$
C.$s= 2t^{2}-2t+1$
D.$y= x^{2}+\frac {1}{x}$

答案： C

2.若$y= (k-1)x^{2}+2$是二次函数,则$k$≠1.

答案： ≠1

3.二次函数$y= 2x(x-3)$的二次项系数与一次项系数之和为-4.

答案： -4

4.长方形的周长为24cm,其中一边为$x$cm(其中$x＞0$),面积为$ycm^{2}$,则这样的长方形中$y与x$的关系可以写成(C)
A.$y= x^{2}$
B.$y= 12-x^{2}$
C.$y= (12-x)x$
D.$y= 2(12-x)$

答案： C

5.某厂今年一月份新产品的研发资金为$a$元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是$x$,则该厂今年三月份新产品的研发资金$y$(元)关于$x$的函数关系式为$y=$$a(1+x)^{2}$.

答案： $a(1+x)^{2}$

6.如图,一矩形场地,两边长分别为80m、60m,现欲在矩形内修两条宽为$x$m的小路,剩余部分的面积是$ym^{2}$,则$y与x$之间的函数关系式为(C)

A.$y= x^{2}+140x-4800$
B.$y= x^{2}-20x+4800$
C.$y= x^{2}-140x+4800$
D.$y= x^{2}+20x-4800$

答案： C

7.若$y= (m-1)x^{m^{2}+2m-1}+3$.
(1)$m$取什么值时,此函数是二次函数?
(2)$m$取什么值时,此函数是一次函数?

答案： $(1)$求$m$取何值时函数是二次函数
解：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），在函数$y=(m - 1)x^{m^{2}+2m - 1}+3$中，需满足$\begin{cases}m^{2}+2m - 1=2\\m - 1\neq0\end{cases}$。
先解方程$m^{2}+2m - 1=2$，移项可得$m^{2}+2m - 3 = 0$，因式分解为$(m + 3)(m - 1)=0$，则$m+3 = 0$或$m - 1=0$，解得$m=-3$或$m = 1$。
又因为$m - 1\neq0$，即$m\neq1$，所以$m=-3$。
$(2)$求$m$取何值时函数是一次函数
解：
对于一次函数$y = kx + b$（$k\neq0$），在函数$y=(m - 1)x^{m^{2}+2m - 1}+3$中，需满足$\begin{cases}m^{2}+2m - 1=1\\m - 1\neq0\end{cases}$。
先解方程$m^{2}+2m - 1=1$，移项可得$m^{2}+2m - 2 = 0$，根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（这里$a = 1$，$b = 2$，$c=-2$），则$m=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4×1×(-2)}}{2×1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 8}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$。
且$m - 1\neq0$，即$m\neq1$，所以$m=-1\pm\sqrt{3}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{m=-3}$；$(2)$$\boldsymbol{m=-1\pm\sqrt{3}}$。

8.$n$个球队参加比赛,每两个队之间进行两场比赛.
(1)写出比赛场数$m与球队数n$之间的函数解析式;
(2)若有8个队参赛,共有多少场比赛?
(3)若共有30场比赛,则有多少个球队参赛?

答案：
(1)m=n(n-1)；
(2)56；
(3)n=6.

9.如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园$ABCD$,设$AB边长为x$米,求菜园的面积$y$(单位:平方米)与$x$(单位:米)的函数关系式.

答案： 解：已知$AB = x$米，因为篱笆长为$30$米，且一边靠墙，所以$BC=\dfrac{30 - x}{2}$米。
根据矩形面积公式$y = AB× BC$，可得$y=x×\dfrac{30 - x}{2}$，即$y = -\dfrac{1}{2}x^{2}+15x$（$0\lt x\lt30$）。
所以菜园的面积$y$与$x$的函数关系式为$y = -\dfrac{1}{2}x^{2}+15x(0\lt x\lt30)$。