搜索
第1页
- 第1页
- 第2页
- 第3页
- 第4页
- 第5页
- 第6页
- 第7页
- 第8页
- 第9页
- 第10页
- 第11页
- 第12页
- 第13页
- 第14页
- 第15页
- 第16页
- 第17页
- 第18页
- 第19页
- 第20页
- 第21页
- 第22页
- 第23页
- 第24页
- 第25页
- 第26页
- 第27页
- 第28页
- 第29页
- 第30页
- 第31页
- 第32页
- 第33页
- 第34页
- 第35页
- 第36页
- 第37页
- 第38页
- 第39页
- 第40页
- 第41页
- 第42页
- 第43页
- 第44页
- 第45页
- 第46页
- 第47页
- 第48页
- 第49页
- 第50页
- 第51页
- 第52页
- 第53页
- 第54页
- 第55页
- 第56页
- 第57页
- 第58页
- 第59页
- 第60页
- 第61页
- 第62页
- 第63页
- 第64页
- 第65页
- 第66页
- 第67页
- 第68页
- 第69页
- 第70页
- 第71页
- 第72页
- 第73页
- 第74页
- 第75页
- 第76页
- 第77页
- 第78页
- 第79页
- 第80页
- 第81页
- 第82页
- 第83页
- 第84页
- 第85页
- 第86页
- 第87页
- 第88页
- 第89页
- 第90页
- 第91页
- 第92页
- 第93页
- 第94页
- 第95页
- 第96页
- 第97页
- 第98页
- 第99页
- 第100页
- 第101页
- 第102页
- 第103页
- 第104页
- 第105页
- 第106页
- 第107页
- 第108页
- 第109页
- 第110页
- 第111页
- 第112页
- 第113页
- 第114页
- 第115页
- 第116页
- 第117页
- 第118页
- 第119页
- 第120页
- 第121页
- 第122页
- 第123页
- 第124页
- 第125页
- 第126页
- 第127页
- 第128页
- 第129页
- 第130页
- 第131页
- 第132页
- 第133页
- 第134页
- 第135页
- 第136页
- 第137页
- 第138页
- 第139页
- 第140页
- 第141页
- 第142页
- 第143页
- 第144页
- 第145页
- 第146页
- 第147页
- 第148页
- 第149页
- 第150页
- 第151页
- 第152页
- 第153页
- 第154页
- 第155页
- 第156页
- 第157页
1. 结合实例说一说什么是一个数的平方根,什么是一个数的算术平方根,什么是一个数的立方根；试说明其意义和表示方法。
答案：
平方根：若x²=a，则x是a的平方根，a≥0，表为±√a。例：4的平方根±2，因(±2)²=4。意义：平方运算逆运算，正数两平方根互为相反数，0平方根0，负数无平方根。
算术平方根：正数a正的平方根，表为√a。例：4的算术平方根2，因2²=4且2＞0。意义：非负数，0算术平方根0。
立方根：若x³=a，则x是a的立方根，表为³√a。例：8的立方根2，因2³=8；-8的立方根-2，因(-2)³=-8。意义：立方运算逆运算，任何数有唯一立方根，正数立方根正，负数立方根负，0立方根0。
算术平方根：正数a正的平方根，表为√a。例：4的算术平方根2，因2²=4且2＞0。意义：非负数，0算术平方根0。
立方根：若x³=a，则x是a的立方根，表为³√a。例：8的立方根2，因2³=8；-8的立方根-2，因(-2)³=-8。意义：立方运算逆运算，任何数有唯一立方根，正数立方根正，负数立方根负，0立方根0。
2. 开方运算与乘方运算这两种运算有怎样的关系？
答案：
开方运算与乘方运算是互为逆运算的关系。
具体来说：
如果 $a^n = b$（其中 $n$ 是正整数，$a$ 是实数，$b$ 是非负实数，且 $n$ 为偶数时 $a$ 非负），
那么称 $a$ 是 $b$ 的 $n$ 次方根，用根式表示为 $a = \sqrt[n]{b}$（当 $n$ 为奇数时，根式表示实数范围内的唯一解；当 $n$ 为偶数时，在实数范围内，若 $b \geq 0$，则根式表示非负解）。
简而言之，乘方运算是将一个数变为它的 $n$ 次幂，而开方运算则是找到一个数，使其 $n$ 次幂等于给定的数。
具体来说：
如果 $a^n = b$（其中 $n$ 是正整数，$a$ 是实数，$b$ 是非负实数，且 $n$ 为偶数时 $a$ 非负），
那么称 $a$ 是 $b$ 的 $n$ 次方根，用根式表示为 $a = \sqrt[n]{b}$（当 $n$ 为奇数时，根式表示实数范围内的唯一解；当 $n$ 为偶数时，在实数范围内，若 $b \geq 0$，则根式表示非负解）。
简而言之，乘方运算是将一个数变为它的 $n$ 次幂，而开方运算则是找到一个数，使其 $n$ 次幂等于给定的数。
3. 举例说一说求一个数的平方根的方法是什么。
答案：
求一个数的平方根的方法：
1. 若该数为非负数a，找到一个数x，使得x²=a，则x是a的平方根，记为x=±√a；
2. 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
举例：求16的平方根，因为(±4)²=16，所以16的平方根是±4。
1. 若该数为非负数a，找到一个数x，使得x²=a，则x是a的平方根，记为x=±√a；
2. 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
举例：求16的平方根，因为(±4)²=16，所以16的平方根是±4。
4. 什么叫做无理数？什么叫做实数？它们之间的关系如何？实数与数轴上的点的对应关系如何？
答案：
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
实数：有理数和无理数统称为实数。
关系：无理数是实数的一部分，实数包括无理数和有理数。
对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点一一对应。
实数：有理数和无理数统称为实数。
关系：无理数是实数的一部分，实数包括无理数和有理数。
对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点一一对应。
5. 举例说明如何用取近似值的方法比较两个正实数的大小。
答案：
比较√5与2.2的大小：
1. 计算√5的近似值：√4=2，√5≈2.236；
2. 比较近似值：2.236 ＞ 2.2；
3. 得出结论：√5 ＞ 2.2。
比较√3与1.732的大小：
1. 计算√3的近似值：√3≈1.73205；
2. 比较近似值：1.73205 ＞ 1.732；
3. 得出结论：√3 ＞ 1.732。
1. 计算√5的近似值：√4=2，√5≈2.236；
2. 比较近似值：2.236 ＞ 2.2；
3. 得出结论：√5 ＞ 2.2。
比较√3与1.732的大小：
1. 计算√3的近似值：√3≈1.73205；
2. 比较近似值：1.73205 ＞ 1.732；
3. 得出结论：√3 ＞ 1.732。
6. 对实数分类的方法有哪些？
答案：
对于实数的分类方法，有以下几种：
按定义分类：
实数可以分为有理数和无理数。
有理数：可以表示为两个整数的比的数，即形如$\frac{p}{q}$（$q \neq 0$）的数。包括整数和分数，其中分数可以表示为有限小数或无限循环小数。
无理数：不能表示为两个整数的比的数，即无限不循环小数。
按符号分类：
实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数：大于零的实数。
零：既不是正实数也不是负实数的特殊实数。
负实数：小于零的实数。
按定义分类：
实数可以分为有理数和无理数。
有理数：可以表示为两个整数的比的数，即形如$\frac{p}{q}$（$q \neq 0$）的数。包括整数和分数，其中分数可以表示为有限小数或无限循环小数。
无理数：不能表示为两个整数的比的数，即无限不循环小数。
按符号分类：
实数可以分为正实数、零和负实数。
正实数：大于零的实数。
零：既不是正实数也不是负实数的特殊实数。
负实数：小于零的实数。
1. 一个数的平方根与算术平方根有什么联系和区别？
答案：
联系：
1. 前提条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。
2. 存在包含关系：一个非负数的算术平方根是其平方根中的非负根。
区别：
1. 定义不同：若$x^2 = a$（$a\geq0$），则$x$是$a$的平方根；其中非负的平方根是算术平方根。
2. 个数不同：正数有两个平方根（互为相反数），算术平方根只有一个（非负）；0的平方根和算术平方根都是0。
3. 表示方法不同：$a$的平方根表示为$\pm\sqrt{a}$，算术平方根表示为$\sqrt{a}$。
1. 前提条件相同：只有非负数才有平方根和算术平方根。
2. 存在包含关系：一个非负数的算术平方根是其平方根中的非负根。
区别：
1. 定义不同：若$x^2 = a$（$a\geq0$），则$x$是$a$的平方根；其中非负的平方根是算术平方根。
2. 个数不同：正数有两个平方根（互为相反数），算术平方根只有一个（非负）；0的平方根和算术平方根都是0。
3. 表示方法不同：$a$的平方根表示为$\pm\sqrt{a}$，算术平方根表示为$\sqrt{a}$。
2. 在研究数的平方根时,将数分成了几类？各类数的平方根的情况如何？
答案：
在研究数的平方根时，将数分成三类：
1. 正数：有两个平方根，它们互为相反数；
2. 零：有一个平方根，是零本身；
3. 负数：没有平方根。
1. 正数：有两个平方根，它们互为相反数；
2. 零：有一个平方根，是零本身；
3. 负数：没有平方根。
3. 说一说如何使用计算器求一个数的平方根、立方根。
答案：
使用计算器求一个数的平方根、立方根的步骤如下：
求平方根：
输入需要求平方根的数（假设为$a$，且$a \geq 0$）；
按下计算器上的平方根键（通常标记为$\sqrt{}$ 或 $\sqrt{x}$）；
计算器显示的结果即为$a$的平方根。
求立方根：
输入需要求立方根的数（假设为$b$）；
按下计算器上的立方根键（部分计算器需要先按数学函数键，再选择立方根，通常标记为$\sqrt[3]{}$ 或 $\sqrt[3]{x}$，或者通过shift或2nd功能键调用）；
计算器显示的结果即为$b$的立方根。
求平方根：
输入需要求平方根的数（假设为$a$，且$a \geq 0$）；
按下计算器上的平方根键（通常标记为$\sqrt{}$ 或 $\sqrt{x}$）；
计算器显示的结果即为$a$的平方根。
求立方根：
输入需要求立方根的数（假设为$b$）；
按下计算器上的立方根键（部分计算器需要先按数学函数键，再选择立方根，通常标记为$\sqrt[3]{}$ 或 $\sqrt[3]{x}$，或者通过shift或2nd功能键调用）；
计算器显示的结果即为$b$的立方根。
4. 有理数与无理数的根本区别是什么？
答案：
有理数与无理数的根本区别在于：有理数可以表示为两个整数的比（即分数形式 $\frac{p}{q}$，其中 $p, q$ 为整数，且 $q \neq 0$），而无理数则不能表示为两个整数的比。
5. 举例说明如何运用几何作图法在数轴上表示一些无理数。
答案：
1. 以表示√2为例：
在数轴上，以原点O为起点，在正半轴取OA=1个单位长度。
过点A作数轴的垂线，在垂线上取AB=1个单位长度。
连接OB，由勾股定理得OB=√(1²+1²)=√2。
以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示√2。
2. 以表示√5为例：
在数轴上，取OA=2个单位长度，过A作垂线，取AB=1个单位长度。
连接OB，OB=√(2²+1²)=√5。
以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示√5。
在数轴上，以原点O为起点，在正半轴取OA=1个单位长度。
过点A作数轴的垂线，在垂线上取AB=1个单位长度。
连接OB，由勾股定理得OB=√(1²+1²)=√2。
以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示√2。
2. 以表示√5为例：
在数轴上，取OA=2个单位长度，过A作垂线，取AB=1个单位长度。
连接OB，OB=√(2²+1²)=√5。
以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴正半轴于点D，则点D表示√5。
1. 求一个数的平方与求一个数的平方根有什么联系？为什么负数没有平方根？
答案：
答：
(1)联系：
求一个数的平方与求该数的平方根是互逆运算。
若一个数$a$的平方等于$b$，即$a^{2} = b$，那么$a$叫做$b$的平方根。
(2)原因：
设这个数为$x$，假设负数有平方根，则存在一个实数$y$，使得$y^{2}=x\lt0$。
而根据实数的平方性质，对于任意实数$y$，$y^{2}\geq0$，两者产生矛盾。
所以负数没有平方根。
(1)联系：
求一个数的平方与求该数的平方根是互逆运算。
若一个数$a$的平方等于$b$，即$a^{2} = b$，那么$a$叫做$b$的平方根。
(2)原因：
设这个数为$x$，假设负数有平方根，则存在一个实数$y$，使得$y^{2}=x\lt0$。
而根据实数的平方性质，对于任意实数$y$，$y^{2}\geq0$，两者产生矛盾。
所以负数没有平方根。
2. 求一个数的立方与求一个数的立方根有什么联系？正数、零、负数的立方根的情况如何？与数的平方根相比有何不同？
答案：
1. 联系：求一个数的立方与求一个数的立方根互为逆运算。若$x^3 = a$，则$x$是$a$的立方根（记为$x = \sqrt[3]{a}$）；反之，若$x$是$a$的立方根，则$x^3 = a$。
2. 立方根情况：正数的立方根是正数；零的立方根是零；负数的立方根是负数。任何实数都有且只有一个立方根。
3. 与平方根不同：①个数：正数有两个平方根（互为相反数）、一个立方根；零的平方根和立方根都是零；负数没有平方根、有一个立方根。②符号表示：平方根记为$\pm\sqrt{a}(a\geq0)$，立方根记为$\sqrt[3]{a}$（$a$为任意实数）。
2. 立方根情况：正数的立方根是正数；零的立方根是零；负数的立方根是负数。任何实数都有且只有一个立方根。
3. 与平方根不同：①个数：正数有两个平方根（互为相反数）、一个立方根；零的平方根和立方根都是零；负数没有平方根、有一个立方根。②符号表示：平方根记为$\pm\sqrt{a}(a\geq0)$，立方根记为$\sqrt[3]{a}$（$a$为任意实数）。
3. 通过类比平方根和立方根的定义及表示方法,试猜想$n$次方根的定义及表示方法。
答案：
定义：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根。
表示方法：
1. 当n为偶数时：正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，记作±√[n]{a}；0的n次方根是0，记作√[n]{0}=0；负数没有偶次方根。
2. 当n为奇数时：实数a的n次方根只有一个，记作√[n]{a}（a为任意实数）。
表示方法：
1. 当n为偶数时：正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，记作±√[n]{a}；0的n次方根是0，记作√[n]{0}=0；负数没有偶次方根。
2. 当n为奇数时：实数a的n次方根只有一个，记作√[n]{a}（a为任意实数）。
4. 实数与数轴上的点建立了一一对应的关系,请你说一说这种关系的含义。
答案：
实数与数轴上的点建立的一一对应关系含义如下：
1. 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；
2. 数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。
1. 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；
2. 数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。
例1 求正数$16$,$0.49$,$m^{2}(m\neq0)$的平方根,并结合求这些正数的平方根的过程说一说一个正数的平方根的含义。
解：因为$4^{2}= 16$,$(-4)^{2}= 16$,所以$16$的平方根有两个,是$4和-4$。
因为$0.7^{2}= 0.49$,$(-0.7)^{2}= 0.49$,所以$0.49$的平方根有两个,是$0.7和-0.7$。
因为$m\neq0$,且$m^{2}= m^{2}$,$(-m)^{2}= m^{2}$,所以$m^{2}$的平方根有两个,是$m和-m$。
如果甲数的平方等于乙数,那么甲数就是乙数的平方根。例如,$4是16$的平方根,$-4也是16$的平方根。
解：因为$4^{2}= 16$,$(-4)^{2}= 16$,所以$16$的平方根有两个,是$4和-4$。
因为$0.7^{2}= 0.49$,$(-0.7)^{2}= 0.49$,所以$0.49$的平方根有两个,是$0.7和-0.7$。
因为$m\neq0$,且$m^{2}= m^{2}$,$(-m)^{2}= m^{2}$,所以$m^{2}$的平方根有两个,是$m和-m$。
如果甲数的平方等于乙数,那么甲数就是乙数的平方根。例如,$4是16$的平方根,$-4也是16$的平方根。
答案：
答题卡：
解：
对于正数$16$：
因为$4^{2} = 16$，$(-4)^{2} = 16$，
所以$16$的平方根为$\pm 4$。
对于正数$0.49$：
因为$0.7^{2} = 0.49$，$(-0.7)^{2} = 0.49$，
所以$0.49$的平方根为$\pm 0.7$。
对于正数$m^{2}(m \neq 0)$：
因为$m^{2} = m^{2}$，$(-m)^{2} = m^{2}$，
所以$m^{2}$的平方根为$\pm m$。
一个正数的平方根指的是，若某个数的平方等于该正数，则这个数即为该正数的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数。
解：
对于正数$16$：
因为$4^{2} = 16$，$(-4)^{2} = 16$，
所以$16$的平方根为$\pm 4$。
对于正数$0.49$：
因为$0.7^{2} = 0.49$，$(-0.7)^{2} = 0.49$，
所以$0.49$的平方根为$\pm 0.7$。
对于正数$m^{2}(m \neq 0)$：
因为$m^{2} = m^{2}$，$(-m)^{2} = m^{2}$，
所以$m^{2}$的平方根为$\pm m$。
一个正数的平方根指的是，若某个数的平方等于该正数，则这个数即为该正数的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数。
例2 某个正数的两个平方根分别是$3x - 2和2x - 3$,求$x$的值。
解：根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数,得$3x - 2 + 2x - 3 = 0$。解得$x = 1$。
评析：在解决本题的过程中,我们运用了性质“一个正数有两个平方根,它们互为相反数”,而这个性质是隐含在题目信息中的条件,这告诉我们在解决某些问题时,要全面把握题目信息,包括从题目信息中透视出的隐含条件。
解：根据一个正数有两个平方根,它们互为相反数,得$3x - 2 + 2x - 3 = 0$。解得$x = 1$。
评析：在解决本题的过程中,我们运用了性质“一个正数有两个平方根,它们互为相反数”,而这个性质是隐含在题目信息中的条件,这告诉我们在解决某些问题时,要全面把握题目信息,包括从题目信息中透视出的隐含条件。
答案：
$x = 1$
查看更多完整答案，请扫码查看
