《2025年金版新学案高中物理选择性必修第三册人教版》

例4 如图所示，竖直放置的导热汽缸，活塞横截面积为$S = 0.01 m^2，$可在汽缸内无摩擦滑动。汽缸侧壁有一个小孔与装有水银的U形玻璃管相通，汽缸内封闭了一段高为H = 70 cm的气柱(U形管内的气体体积不计)。已知活塞质量m = 10.2 kg，大气压$p_0 = 1×10^5 Pa，$水银密度$ρ = 13.6×10^3 kg/m^3，$$g = 10 m/s^2。$

(1)求U形管中左管与右管的水银面的高度差$h_1；$
(2)在活塞上加一竖直向上的拉力，缓慢向上拉活塞使U形管中左管水银面高出右管水银面$h_2 = 7.5 cm，$求活塞平衡时与汽缸底部的高度和此时的拉力大小F。

答案： （1）0.075m（2）0.859m 204N
解析：（1）对活塞，有$p_0S+mg=p_1S$
对右侧高度为$h_1$的液柱，有$p_1=p_0+ρgh_1$
联立解得$h_1=0.075m。$
（2）汽缸内气体做等温变化，则活塞平衡后汽缸内气体的压强为$p_2=p_0-ρgh_2$
由玻意耳定律可得$p_1HS=p_2xS$
联立解得x≈0.859m
此时对活塞，由平衡条件得$p_0S+mg=p_2S+F$
解得F=204N。

针对练1.为方便抽取密封药瓶里的药液，护士一般先用注射器注入少量气体到药瓶里后再抽取药液，如图所示，某种药瓶的容积为0.9 mL，内装有0.5 mL的药液，瓶内气体压强为$1.0×10^5 Pa，$护士把注射器内横截面积为$0.3 cm^2、$长度为0.4 cm、压强为$1.0×10^5 Pa$的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，此时药瓶内气体的压强最接近 (C)

A.$0.8×10^5 Pa$
B.$1.0×10^5 Pa$
C.$1.3×10^5 Pa$
D.$1.7×10^5 Pa$

答案： C选初始状态药瓶内的气体和注射器内的气体整体为研究对象，初状态$p_1=1.0×10^5Pa，$$V_1=0.9mL-0.5mL+0.3×0.4mL=0.52mL；$末状态$V_2=0.9mL-0.5mL=0.4mL，$压强为$p_2；$气体做等温变化，根据玻意耳定律可知$p_1V_1=p_2V_2，$代入数据解得$p_2=1.3×10^5Pa。$故选C。

针对练2.如图所示，劲度系数k = 500 N/m的竖直弹簧下端固定在水平地面上，上端与一活塞相连，导热性良好的汽缸内被活塞密封了一定质量的气体，整个装置处于静止状态。已知汽缸质量$m_1 = 5 kg，$汽缸底面积$S = 10 cm^2，$大气压$p_0 = 1.0×10^5 Pa，$此时活塞离汽缸顶部的距离$h_1 = 40 cm。$现在汽缸顶部加一质量$m_2 = 5 kg$的重物。忽略汽缸壁厚度以及活塞与汽缸之间的摩擦力，汽缸下端离地足够高，环境温度保持不变，g取$10 m/s^2。$则汽缸稳定时下降的距离为 (B)


A.10 cm
B.20 cm
C.30 cm
D.40 cm

答案： B设未加重物时内部气体压强为$p_1，$由平衡条件可得$p_1S=mg+p_0S，$解得$p_1=1.5×10^5Pa；$加上重物后，设汽缸内气体压强为$p_2，$由平衡条件可得$p_2S=m_1g+p_0S+m_2g，$解得$p_2=2.0×10^5Pa。$由玻意耳定律得$p_1h_1S=p_2h_2S，$解得$h_2=0.3m，$活塞下降的距离为$Δx=\frac{m_2g}{k}=0.1m，$所以汽缸稳定时下降的距离$Δh=h_1-h_2+Δx=0.2m=20cm。$故选B。