《2025年全程检测单元测试卷八年级数学上册沪教版》

19. （14 分）综合与实践。
【问题背景】折纸是我国传统文化艺术，学习传统文化，可以从学习折纸开始。按照下面的过程折一折，探究其蕴含的数学知识。
如图 15①，把边长为 4 的正方形纸片 $ABCD$ 对折，使边 $AB$ 与 $CD$ 重合，展开后得到折痕 $EF$；如图 15②，$M$ 为 $CF$ 上一点，将正方形纸片 $ABCD$ 沿直线 $DM$ 折叠，使点 $C$ 落在折痕 $EF$ 上的点 $N$ 处，展开后连接 $DN$，$MN$，$AN$。
【初步探究】
(1)（5 分）判断 $\triangle AND$ 的形状，并给出证明。
【深入探究】
(2)（5 分）说明线段 $NF$ 与 $CM$ 的数量关系。
【类比迁移】
(3)（4 分）你能通过折叠的方法，将正方形分成面积相等的 8 份吗？请在图 15③的正方形中用虚线画出你的折叠方法。

答案：
19.
(1)DE=BD+CE.理由:
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°,
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°.
∴∠DBA=∠EAC.又
∵∠BDA=∠AEC=90°,AB=AC,
∴△DBA≌△EAC(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(2)如图17,过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F.
∵点C的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,4)，
∴OC=2,OF=1,BF=4.
∴CF=OF+OC=1+2=3.与
(1)同理可得△ACE≌△CBF(AAS),
∴CE=BF=4,AE=CF=3.
∴OE=CE+OC=4+2=6.
∵点A在第二象限，
∴点A的坐标为(−6,3).
(3)成立.理由:
∵∠BAE是△DBA的外角，
∴∠BAE=∠DBA+∠BDA.又
∵∠BAE=∠BAC+∠EAC,∠BDA=∠BAC,
∴∠DBA=∠EAC.又
∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC,
∴△DBA≌△EAC(AAS).
∴BD=AE,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.