《2025年全程检测单元测试卷八年级数学上册沪教版》

19. (16分)综合与探究.
【问题情境】数学课上,黄老师画了一个三角形,如图10所示,$\triangle ABC$中,$\angle B=80^{\circ}$,$\angle C=20^{\circ}$.然后让数学小组展开讨论,探究如何求出$\triangle ABC$的高$AD$与$\triangle ABC$的角平分线$AE$的夹角.
【初步探究】
(1)(4分)数学小组认为$\angle DAE=\angle DAC-\angle CAE$,故从求$\angle DAC$和$\angle CAE$入手:$\angle DAC=$70°,$\angle CAE=$40°.
【问题解决】
(2)(4分)求$\angle DAE$的度数.
【拓展延伸】
(3)(4分)如果把条件“$\angle B=80^{\circ}$,$\angle C=20^{\circ}$”改为“$\angle B-\angle C=60^{\circ}$”,$\angle DAE$的度数会改变吗? 请说明理由.
【能力提升】
(4)(4分)如果把条件“$\angle B=80^{\circ}$,$\angle C=20^{\circ}$”改为“$\angle B-\angle C=n^{\circ}$”,$\angle DAE$的度数能用含$n$的式子表示吗? 如果能,请写出式子并说明理由.

答案： 19.
(1)70° 40° 【解析】
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC.
∴∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 20° = 70°.
∵三角形的内角和为180°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 80° - 20° = 80°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°.
(2)
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC.
∴∠DAC = 90° - ∠C = 90° - 20° = 70°.
∵三角形的内角和为180°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 80° - 20° = 80°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = 40°.
∴∠DAE = ∠DAC - ∠CAE = 70° - 40° = 30°.
(3)不会. 理由：∠DAE = ∠DAC - ∠CAE = (90° - ∠C) - $\frac{1}{2}$∠BAC = (90° - ∠C) - $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - ∠C - 90° + $\frac{1}{2}$∠B + $\frac{1}{2}$∠C = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C) = $\frac{1}{2}$×60° = 30°.
(4)能.∠DAE = $\frac{1}{2}$n°. 理由：∠DAE = ∠DAC - ∠CAE = (90° - ∠C) - $\frac{1}{2}$∠BAC = (90° - ∠C) - $\frac{1}{2}$(180° - ∠B - ∠C) = 90° - ∠C - 90° + $\frac{1}{2}$∠B + $\frac{1}{2}$∠C = $\frac{1}{2}$(∠B - ∠C) = $\frac{1}{2}$n°.