《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

7. $ y = \sqrt{x^{2}-2x + 3}(-2\leqslant x\leqslant 2) $ 的最小值为$\sqrt{2}$,最大值为$\sqrt{11}$。

答案： $\sqrt{2}$，$\sqrt{11}$

★8. 在某次足球训练中,一队员在距离球门 $ 12m $ 处挑射,正好射中了 $ 2.4m $ 高的球门横梁,若足球运行的路线如图所示是抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $。有下列结论：① $ a + b + c\gt 0 $；② $ -\frac{1}{60}\lt a\lt 0 $；③ $ a - b + c\gt 0 $；④ $ 0\lt b\lt -12a $。其中正确的结论是(A)

A.①②
B.①④
C.②③
D.②④

答案： A

9. 某网店销售一种儿童玩具,进价为每件 $ 30 $ 元,物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的 $ 60\% $。在销售过程中发现,这种儿童玩具每天的销售量 $ y $(件)与销售单价 $ x $(元)满足一次函数关系。当销售单价为 $ 35 $ 元时,每天的销售量为 $ 350 $ 件；当销售单价为 $ 42 $ 元时,每天的销售量为 $ 280 $ 件。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式并直接写出自变量 $ x $ 的取值范围。
(2) 若该网店每天想从这种儿童玩具销售中获利 $ 3000 $ 元,那么这种儿童玩具的销售单价应定为多少元？
(3) 当销售单价为多少元时,该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

答案：
(1) 设函数关系式为 $y = kx + b$。
根据题意，当 $x = 35$ 时，$y = 350$；当 $x = 42$ 时，$y = 280$。
代入得：
$\begin{cases}35k + b = 350 \\42k + b = 280\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -10 \\b = 700\end{cases}$
因此，函数关系式为 $y = -10x + 700$。
由题意，售价不低于进价，即 $x \geq 30$，且销售利润不高于进价的 $60\%$，即 $x \leq 30 × (1 + 0.6) = 48$。
所以自变量 $x$ 的取值范围为 $30 \leqslant x \leqslant 48$。
(2) 根据题意，利润为 $(x - 30) × y = 3000$，即 $(x - 30) × (-10x + 700) = 3000$。
化简得：
$x^2 - 100x + 2400 = 0$
解得 $x_1 = 40$，$x_2 = 60$。
由于 $30 \leqslant x \leqslant 48$，所以 $x = 40$。
答：这种儿童玩具的销售单价应定为 $40$ 元。
(3) 利润 $w$ 可以表示为 $w = (x - 30) × (-10x + 700) = -10x^2 + 1000x - 21000$。
化简得：
$w = -10(x - 50)^2 + 4000$
由于 $a = -10 ＜ 0$，这是一个开口向下的抛物线。
在 $30 \leqslant x \leqslant 48$ 的范围内，$w$ 随 $x$ 的增大而增大。
因此，当 $x = 48$ 时，$w$ 取得最大值，即 $w_{最大} = -10 × (48 - 50)^2 + 4000 = 3960$。
答：当销售单价为 $48$ 元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是 $3960$ 元。