《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

1. 将二次函数 $ y = -x^{2} + 2x - 3 $ 化成 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式为$y = - (x - 1)^{2} - 2$,开口向下,对称轴是$x = 1$,顶点坐标为$(1, - 2)$.

答案： $y = - (x - 1)^{2} - 2$；下；$x = 1$；$(1, - 2)$。

2. 二次函数 $ y = -2x^{2} + 4x - 9 $ 的图象最高点的纵坐标是 (A)
A.$-7$
B.$7$
C.$9$
D.$-9$

答案： A

3. 下列抛物线中,开口方向与对称轴都相同的抛物线是 (C)
①$ y = 2x^{2} + 3x - 4 $；②$ y = -2x^{2} + 3x - 4 $；③$ y = -4x^{2} - 6x + 1 $；
④$ y = 4x^{2} + 6x $；⑤$ y = x^{2} + \frac{3}{2}x + \frac{1}{4} $
A.①②④
B.①③④
C.①④⑤
D.①③

答案： C

4. 已知二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x(x - 6) - 1 $,回答下列问题.
(1) 函数 $ y = -\frac{1}{2}x(x - 6) - 1 $ 的图象能否由函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象平移得到？若能,请写出平移的过程.
(2) 写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案：
(1) 能；
将$ y = -\frac{1}{2}x(x - 6) - 1 $化简：
$ y = -\frac{1}{2}(x^2 - 6x) - 1 = -\frac{1}{2}[(x - 3)^2 - 9] - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + \frac{7}{2} $，
故由$ y = -\frac{1}{2}x^2 $向右平移3个单位，再向上平移$\frac{7}{2}$个单位得到。
(2) 开口方向：向下；
对称轴：直线$ x = 3 $；
顶点坐标：$(3, \frac{7}{2})$。

5. 求下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1) $ y = -3x^{2} + 12x - 3 $.
(2) $ y = \frac{1}{2}x^{2} - 2x - 1 $.

答案：
(1)
对于抛物线$y = - 3x^{2}+12x - 3$，开口方向：因为$a=-3\lt0$，所以抛物线开口向下。
将函数式变形为顶点式：
$y=-3x^{2}+12x - 3=-3(x^{2}-4x)-3=-3(x^{2}-4x + 4-4)-3=-3((x - 2)^{2}-4)-3=-3(x - 2)^{2}+12 - 3=-3(x - 2)^{2}+9$
对称轴：对于二次函数$y = a(x - h)^{2}+k$，对称轴为直线$x = h$，所以对称轴为直线$x = 2$。
顶点坐标：根据顶点式$y=-3(x - 2)^{2}+9$，顶点坐标为$(2,9)$。
(2)
对于抛物线$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 1$，开口方向：因为$a=\frac{1}{2}\gt0$，所以抛物线开口向上。
将函数式变形为顶点式：
$y=\frac{1}{2}x^{2}-2x - 1=\frac{1}{2}(x^{2}-4x)-1=\frac{1}{2}(x^{2}-4x + 4-4)-1=\frac{1}{2}((x - 2)^{2}-4)-1=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}-2 - 1=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}-3$
对称轴：对于二次函数$y = a(x - h)^{2}+k$，对称轴为直线$x = h$，所以对称轴为直线$x = 2$。
顶点坐标：根据顶点式$y=\frac{1}{2}(x - 2)^{2}-3$，顶点坐标为$(2,-3)$。
综上，答案为：
(1)开口方向向下，对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,9)$；
(2)开口方向向上，对称轴为直线$x = 2$，顶点坐标为$(2,-3)$。