《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

1. 下列函数中,①$y = - 3x$；②$y = 2x - 1$；③$y = - \frac{1}{x}(x ＜ 0)$；④$y = - x^{2}+2x + 3(x ＞ 1)$.其中$y的值随x$值增大而增大的函数是(D)
A.①③④
B.②③④
C.②④
D.②③

答案： D

2. 已知二次函数$y = x^{2}-2mx + 5$,当$x ＞ - 1$时,$y随x$的增大而增大,则实数$m$的取值范围是(B)
A.$m ＜ - 1$
B.$m \leqslant - 1$
C.$m ＞ - 1$
D.$m \geqslant - 1$

答案： B

3. 函数$y = ax^{2}+bx + 3$,当$x = 1与x = 2024$时,函数值相等,则当$x = 2025$时,函数值等于3.

答案： 3

4. 如图,小明的父亲在相距$2$米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高度是$2.5$米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高$1米的小明距较近的那棵树0.5$米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为0.5米.
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答案： 0.5

5. 某商场购进一批单价为$4$元的日用品.若按每件$5$元的价格销售,每月能卖出$3$万件；若按每件$6$元的价格销售,每月卖出$2$万件,假定每月销售件数$y$(万件)与价格$x$(元/件)间满足一次函数关系.
(1)试求$y与x$之间的函数关系式.
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

答案：
(1) 设销售件数 $y$（万件）与价格 $x$（元/件）之间的函数关系为 $y = kx + b$。
根据题意，当 $x = 5$ 时，$y = 3$；当 $x = 6$ 时，$y = 2$。
代入得：
$\begin{cases}5k + b = 3, \\6k + b = 2.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 8.\end{cases}$
因此，$y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y = -x + 8$。
(2) 设每月的利润为 $W$（万元）。
利润 $W$ 可以表示为：
$W = (x - 4)(-x + 8) = -x^2 + 12x - 32 = -(x - 6)^2 + 4$，
由于 $a = -1 ＜ 0$，这是一个开口向下的抛物线，因此当 $x = 6$ 时，$W$ 取得最大值，即 $W_{最大} = 4$。
答：当销售价格定为 $6$ 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 $4$ 万元。