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7. 如图,⊙O 的直径 AB⊥弦 CD 于点 E,下列结论中一定正确的是 (
A.AE = OE
B.∠AOC = 60°
C.CE = DE
D.OE = CE
C
)A.AE = OE
B.∠AOC = 60°
C.CE = DE
D.OE = CE
答案：
C
8. 在半径为 4cm 的圆中,垂直平分一条半径的弦长等于 (
A.3cm
B.2$\sqrt{3}$cm
C.4$\sqrt{3}$cm
D.8$\sqrt{3}$cm
C
)A.3cm
B.2$\sqrt{3}$cm
C.4$\sqrt{3}$cm
D.8$\sqrt{3}$cm
答案：
C
▲9. 在直径为 10cm 的圆柱形油槽内装入一些油后(尚未没过圆心),截面如图所示,油面宽 AB = 6cm.当油面宽 CD 为 8cm 时,油上升了
1或7
cm.
答案：
1或7
10. 如图,在⊙O 中,CD 是直径,AB 是弦,AB⊥CD 于 M,CD = 15cm,OM : OC = 3 : 5.求弦 AB 的长.
答案：
因为$CD$是直径，$CD = 15cm$，所以$OC=\frac{15}{2} = 7.5cm$。
因为$OM:OC = 3:5$，所以$OM=\frac{3}{5}× OC=\frac{3}{5}×7.5 = 4.5cm$。
在$Rt\triangle OAM$中，根据勾股定理$AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}$，$OA = OC = 7.5cm$，则$AM=\sqrt{7.5^{2}-4.5^{2}}=\sqrt{(7.5 + 4.5)(7.5 - 4.5)}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6cm$。
因为$AB\perp CD$，由垂径定理可知$AB = 2AM$，所以$AB = 12cm$。
故弦$AB$的长为$12cm$。
因为$OM:OC = 3:5$，所以$OM=\frac{3}{5}× OC=\frac{3}{5}×7.5 = 4.5cm$。
在$Rt\triangle OAM$中，根据勾股定理$AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}$，$OA = OC = 7.5cm$，则$AM=\sqrt{7.5^{2}-4.5^{2}}=\sqrt{(7.5 + 4.5)(7.5 - 4.5)}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}=6cm$。
因为$AB\perp CD$，由垂径定理可知$AB = 2AM$，所以$AB = 12cm$。
故弦$AB$的长为$12cm$。
11. 如图,点 P 在⊙O 内.
(1)过 P 点作一条弦 AB,使弦 AB 是所有经过 P 点的弦中最短的弦,并作出弦 AB 所对的优弧的中点.
★(2)若⊙O 的半径为 13,OP = 5,求过点 P 的最短弦的长.
(1)过 P 点作一条弦 AB,使弦 AB 是所有经过 P 点的弦中最短的弦,并作出弦 AB 所对的优弧的中点.
★(2)若⊙O 的半径为 13,OP = 5,求过点 P 的最短弦的长.
答案：
(1) 连接 OP，过点 P 作 AB⊥OP 交⊙O 于 A、B 两点，AB 即为所求最短弦；作弦 AB 的垂直平分线，与优弧 AB 的交点即为优弧 AB 的中点。
(2) 连接 OA，
∵AB⊥OP，
∴AP=BP。在 Rt△OAP 中，OA=13，OP=5，由勾股定理得 AP=√(OA² - OP²)=√(13² - 5²)=12，
∴AB=2AP=24。
(1) 连接 OP，过点 P 作 AB⊥OP 交⊙O 于 A、B 两点，AB 即为所求最短弦；作弦 AB 的垂直平分线，与优弧 AB 的交点即为优弧 AB 的中点。
(2) 连接 OA，
∵AB⊥OP，
∴AP=BP。在 Rt△OAP 中，OA=13，OP=5，由勾股定理得 AP=√(OA² - OP²)=√(13² - 5²)=12，
∴AB=2AP=24。
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