《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

5. 如图,AB//CD,BO:CO= 1:4,E,F分别是OC,OD的中点,则EF:AB的值为(B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B

6. 已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.
(1) 如图1,若四边形ABCD是矩形,且DE⊥CF,求证：$\frac{DE}{CF}= \frac{AD}{DC}$.
(2) 如图2,若四边形ABCD是平行四边形,当∠B= ∠EGF时,第(1)问的结论是否仍成立？若成立给予证明,若不成立,请说明理由.

答案：
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=BC，AB=DC。
∵DE⊥CF，
∴∠DGC=90°，
∴∠GDC+∠GCD=90°。
∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠EDC=90°，
又∠EDC=∠GDC，
∴∠ADE=∠DCF。
在△ADE和△DCF中，
∠A=∠ADC=90°，∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF（两角对应相等），
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{DC}$。
(2) 不成立。
理由：在平行四边形ABCD中，∠B=∠ADC，AD//BC，AB//CD。
∵∠B=∠EGF，∠EGF=∠DGC（对顶角），
∴∠DGC=∠ADC。
但∠DCG与∠DCA不公共，∠A=180°-∠B≠∠ADC，无法证明△ADE∽△DCF或其他三角形相似，故$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{DC}$不成立。
答案：
(1) 证明见解析；
(2) 不成立，理由见解析。

▲7. 如图,小明从路灯下A处起步向前走了5米,发现自己在地面上的影子长DE是2米,如果小明的身高为1.6米,那么路灯离地面的高度AB为多少米？

答案： 答：
如图，设小明站的位置为点 $D$，影子的末端为点 $E$，路灯底部为点 $A$，小明头顶点为点 $C$，路灯头顶点为点 $B$。
已知 $DE = 2$ 米，$AD = 5$ 米，小明身高 $CD = 1.6$ 米。
由于 $CD // AB$，
根据相似三角形性质，$\triangle CDE \sim \triangle ABE$，
$\frac{CD}{AB} = \frac{DE}{AE}$，
其中 $AE = AD + DE = 5 + 2 = 7$（米），
代入已知数据，$\frac{1.6}{AB} = \frac{2}{7}$，
解得：$AB = 5.6$（米）。
所以路灯离地面的高度 $AB$ 为 $5.6$ 米。