《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

8. 若抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 上的两点为 $ ( 2,5 ) $,$ ( 4,5 ) $,则它的对称轴是直线(D)
A.$ x = - 1 $
B.$ x = 1 $
C.$ x = 5 $
D.$ x = 3 $

答案： D

9. 若二次函数 $ y = a x ^ { 2 } - 3 x + a ^ { 2 } - 1 $ 的图象经过原点且开口向下,则 $ a $ 的值是$-1$.

答案： $-1$（题目要求直接填写答案，则本题答案为$-1$）。

10. 已知二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $($ b $,$ c $ 为常数)的图象经过点 $ A ( 2,5 ) $,对称轴为直线 $ x = \frac { 1 } { 2 } $.
(1)求二次函数的表达式.
(2)若点 $ B ( - 1,7 ) $ 向上平移 $ 2 $ 个单位长度,向右平移 $ m ( m ＞ 0 ) $ 个单位长度后,恰好落在 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的图象上,求 $ m $ 的值.
(3)当 $ n \leqslant x \leqslant 2 $ 时,二次函数 $ y = x ^ { 2 } + b x + c $ 的最大值与最小值的差为 $ \frac { 9 } { 4 } $,求 $ n $ 的取值范围.

答案：
(1) 对于二次函数$y=x^2+bx+c$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，$a=1$，由对称轴$x=\frac{1}{2}$得$-\frac{b}{2}=\frac{1}{2}$，解得$b=-1$。
将点$A(2,5)$代入$y=x^2 - x + c$，得$5=2^2 - 2 + c$，即$5=2 + c$，解得$c=3$。
∴二次函数表达式为$y=x^2 - x + 3$。
(2) 点$B(-1,7)$向上平移2个单位，纵坐标变为$7+2=9$；向右平移$m$个单位，横坐标变为$-1 + m$，平移后点坐标为$(m - 1,9)$。
代入$y=x^2 - x + 3$，得$9=(m - 1)^2 - (m - 1) + 3$。
整理得$m^2 - 3m - 4=0$，解得$m=4$或$m=-1$（$m＞0$，舍去$m=-1$）。
∴$m=4$。
(3) 二次函数$y=x^2 - x + 3$开口向上，对称轴$x=\frac{1}{2}$，最小值为$y=\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 3=\frac{11}{4}$。
$x=2$时，$y=2^2 - 2 + 3=5$；令$y=5$，解得$x=-1$或$x=2$。
当$n \leq x \leq 2$时，最大值为5，最小值为$\frac{11}{4}$，差为$5 - \frac{11}{4}=\frac{9}{4}$。
此时需满足$-1 \leq n \leq \frac{1}{2}$。
(1)$y=x^2 - x + 3$
(2)$m=4$
(3)$-1 \leq n \leq \frac{1}{2}$