《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

8. 在半径为 $1$ 的 $\odot O$ 中,弦 $AB = 1$,则 $\overset{\frown}{AB}$ 的长是(C)
A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： C

9. 若弧的长为 $2\pi$,所在圆的半径为 $8cm$,则圆弧的度数为(B)
A.$22.5^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$180^{\circ}$

答案： B

10. 长是 $1.44\pi cm$ 的弧所对的圆周角是 $36^{\circ}$,则该弧所在圆的半径是3.6 $cm$.

答案： 3.6

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 4cm$,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle BCA = 45^{\circ}$.以点 $A$ 为圆心,以 $AC$ 为半径作弧与 $AB$ 相交于点 $E$,与 $BC$ 相交于点 $F$.
(1) 求 $\overset{\frown}{CE}$ 的长.


▲(2) 求 $BF$ 的长.
]

答案：
(1)在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠BCA=180°-30°-45°=105°。由正弦定理得AB/sin∠BCA=AC/sin∠B，即4/sin45°=AC/sin30°。sin45°=√2/2，sin30°=1/2，解得AC=4×(1/2)/(√2/2)=2√2 cm。弧CE的圆心角为∠CAE=105°，半径r=AC=2√2 cm，弧长l=105×π×2√2/180=7√2π/6 cm。
(2)由正弦定理得BC/sin∠BAC=AB/sin∠BCA，BC=4×sin105°/sin45°。sin105°=sin(60°+45°)=√6/4+√2/4，sin45°=√2/2，解得BC=2(√3+1) cm。在△AFC中，AC=AF=2√2 cm，∠ACF=45°，∠CAF=90°，由勾股定理得CF=√(AC²+AF²)=√(8+8)=4 cm。BF=BC-CF=2(√3+1)-4=2(√3-1) cm。
(1)7√2π/6 cm；
(2)2(√3-1) cm。

★12. 如图,一块等边三角形的木板,边长为 $1$,现将木板沿水平线翻滚两次.求 $B$ 点从开始至结束所走过的路径长度.

答案： 解：
1. 第一次翻滚：等边三角形绕点$ C $旋转，$ B $点轨迹为以$ C $为圆心、$ BC=1 $为半径的圆弧，旋转角为$ 120° $（等边三角形内角$ 60° $，翻滚后需旋转$ 180° - 60° = 120° $）。
弧长$ l_1 = \frac{120°}{360°} × 2\pi × 1 = \frac{2\pi}{3} $。
2. 第二次翻滚：绕点$ A $旋转，$ B $点轨迹为以$ A $为圆心、$ AB=1 $为半径的圆弧，旋转角同样为$ 120° $。
弧长$ l_2 = \frac{120°}{360°} × 2\pi × 1 = \frac{2\pi}{3} $。
3. 总路径长度：$ l = l_1 + l_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $。
结论：$ B $点所走过的路径长度为$ \frac{4\pi}{3} $。
$\boxed{\dfrac{4\pi}{3}}$