《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

6. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 过点 $ A(1,0) $,$ B(3,0) $,则此抛物线的对称轴是直线 $ x = $2.

答案： $2$

7. 下列关于二次函数的说法错误的是 (C)
A.抛物线 $ y = -2x^{2} + 3x + 1 $ 的对称轴是直线 $ x = \frac{3}{4} $
B.二次函数 $ y = (x + 2)^{2} - 2 $ 的顶点坐标是 $ (-2,-2) $
C.抛物线 $ y = x^{2} - 2x - 3 $,点 $ A(3,0) $ 不在它的图象上
D.函数 $ y = 2x^{2} + 4x - 3 $ 的图象的最低点在 $ (-1,-5) $

答案： C

▲8. 抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象先向右平移 $ 2 $ 个单位,再向下平移 $ 1 $ 个单位,所得图象的函数表达式为 $ y = (x - 1)^{2} - 2 $,则 $ b $,$ c $ 的值为 (B)
A.$-6,6$
B.$2,0$
C.$2,-2$
D.$-6,8$

答案： B

9. 二次函数 $ y = x^{2} - 6x + c $ 的图象的顶点与原点的距离为 $ 5 $. 求 $ c $ 的值.

答案： 答题步骤如下：
二次函数的一般形式为$y = ax^{2} + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})$。
对于给定的函数$y = x^{2} - 6x + c$，有$a = 1, b = -6$。
所以，顶点坐标为$(\frac{6}{2 × 1}, \frac{4c - (-6)^{2}}{4 × 1}) = (3, c - 9)$。
根据两点间距离公式，顶点与原点的距离为：
$\sqrt{(3 - 0)^{2} + (c - 9 - 0)^{2}} = 5$。
即：
$\sqrt{9 + (c - 9)^{2}} = 5$，
$9 + (c - 9)^{2} = 25$，
$(c - 9)^{2} = 16$，
$c - 9 = \pm 4$。
解得：
$c = 13 \quad 或 \quad c = 5$。
所以$c$的值为$13$或$5$。

▲10. 如图,一位运动员在离篮下水平距离 $ 4m $ 处起跳投篮,球运行的路线是抛物线(顶点 $ C $ 在 $ y $ 轴上),当球运行的水平距离是 $ 2.5m $ 时,球达到最大高度 $ 3.5m $. 已知篮筐中心到地面的距离为 $ 3.05m $,问球出手时离地面多少米才能投中篮筐.

答案： 解：设抛物线的顶点为$C(0, 3.5)$，设抛物线解析式为$y = ax^2 + 3.5$。
由题意，球从出手点到顶点的水平距离为$2.5m$，运动员离篮下水平距离$4m$，则顶点到篮筐的水平距离为$4 - 2.5 = 1.5m$，故篮筐坐标为$(1.5, 3.05)$。
将篮筐坐标$(1.5, 3.05)$代入抛物线解析式：
$3.05 = a(1.5)^2 + 3.5$
$3.05 = 2.25a + 3.5$
$2.25a = -0.45$
$a = -0.2$
故抛物线解析式为$y = -0.2x^2 + 3.5$。
出手点横坐标为$-2.5$，代入解析式得：
$y = -0.2(-2.5)^2 + 3.5 = -0.2×6.25 + 3.5 = -1.25 + 3.5 = 2.25$
答：球出手时离地面$2.25$米。