《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

我国魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆术”,以“圆内接正多边形的面积”,来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形面积无限接近圆面积,根据圆周率$=\frac{正n边形面积}{半径平方}$,进而求得较为精准的圆周率。刘徽从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,直至圆内接正九十六边形,算得圆周率为$3.14$。

正多边形与圆有着密切的联系。任何一个正多边形都有一个外接圆,反之,把一个圆$n(n\geqslant 3)$等分,依次连结各分点,亦能作出圆内接正多边形。尺规作图是数学中的一个基本技能,更是一种思维方式,它最大的特点是作图规整。经研究发现尺规作图可以作出圆的正多边形,如正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形等,但不能作出正七边形、正九边形等。
任务$1$：如图$1$,可以用直尺和圆规作$\odot O$的内接正六边形。
作法：
①在$\odot O上任取一点A$,从点$A$开始,以$\odot O$的半径为半径,在上依次截取点$B$,$C$,$D$,$E$,$F$；
②依次连结$AB$,$BC$,$CD$,$DE$,$EF$,$FA$。
你能证明该作法的正确性吗？

任务$2$：如何用尺规作图作圆内接正五边形,也是数学爱好者不断研究的问题。已知圆内接正五边形每条边所对的圆心角为$72^{\circ}$,圆周角为$36^{\circ}$,查阅资料得$\cos 36^{\circ}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$,利用这些信息,你能尝试用尺规作图在图$2$中作出圆内接正五边形吗？

答案： 任务1证明见解析；任务2作图步骤见解析。