《2025年全程助学与学习评估九年级数学上册浙教版》

8. $ \odot O $ 是等边三角形 $ ABC $ 的外接圆,半径为 $ 2 $,则等边三角形 $ ABC $ 的边长为(C)
A.$ \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ 2\sqrt{3} $
D.$ 2\sqrt{5} $

答案： C

9. 根据下列条件,判断经过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点能否作圆？若能,求出经过这三点的圆的半径；若不能,说明理由.
(1)$ AB = 2cm $,$ BC = 5cm $,$ AC = 3cm $. (2)$ AB = 15cm $,$ BC = 9cm $,$ AC = 12cm $.

答案：
(1)
因为$AB + AC=2 + 3 = 5=BC$，根据三点共线的判定条件：若两条较短线段之和等于最长线段，则这三点共线，所以$A$，$B$，$C$三点共线。
由于三点共线时不能作圆，所以经过$A$，$B$，$C$三点不能作圆。
(2)
因为$AB = 15cm$，$BC = 9cm$，$AC = 12cm$，满足$BC + AC＞AB$，$AB+AC ＞ BC$，$AB + BC＞AC$，根据三角形三边关系可知$A$，$B$，$C$三点构成三角形。
设该圆的圆心为$O$，半径为$R$，先求$\triangle ABC$相关角度（可通过余弦定理求出$\angle C$）：
由余弦定理$\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{12^{2}+9^{2}-15^{2}}{2×12×9}=\frac{144 + 81-225}{216}=0$，所以$\angle C = 90^{\circ}$。
根据直角三角形外接圆半径公式：直角三角形外接圆半径$R=\frac{1}{2}×$斜边，可知经过$A$，$B$，$C$三点的圆的半径$R=\frac{15}{2}=7.5cm$。
综上，
(1)不能作圆，因为$A$，$B$，$C$三点共线；
(2)能作圆，半径为$7.5cm$。

★10. 如图,已知圆上两点 $ A $,$ B $($ AB $ 不等于此圆的半径),用直尺和圆规求作以 $ AB $ 为一边的圆内接等腰三角形.

答案： 情况一：以AB为底边的等腰三角形
1. 分别以A、B为圆心，大于1/2AB长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线l（即AB的垂直平分线）；
2. 直线l与已知圆交于点C₁、C₂（C₁、C₂不与A、B重合）；
3. 连接AC₁、BC₁，得△AC₁B；连接AC₂、BC₂，得△AC₂B。
情况二：以AB为腰的等腰三角形
（1）当AC=AB时
1. 以A为圆心，AB长为半径画弧，交已知圆于点C₃（C₃不与B重合）；
2. 连接AC₃、BC₃，得△AC₃B。
（2）当BC=BA时
1. 以B为圆心，BA长为半径画弧，交已知圆于点C₄（C₄不与A重合）；
2. 连接AC₄、BC₄，得△AC₄B。
结论：△AC₁B、△AC₂B、△AC₃B、△AC₄B即为所求作的圆内接等腰三角形。

11. 如图,$ A $,$ B $,$ C $ 表示三个小区,现在要建一个供水站,使它到这三个小区的距离相等.请在图中标出供水站的位置(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
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答案： 作答如下：
作线段$AB$的垂直平分线：
分别以$A$、$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线$l_1$。
作线段$AC$的垂直平分线：
分别以$A$、$C$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AC$长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线$l_2$。
直线$l_1$与$l_2$的交点$O$即为供水站的位置。