《2025年新课标学习方法指导丛书七年级数学上册浙教版》

26. (6分)由面积都是1的小正方形组成的方格平面叫作格点平面,纵横两组平行线的交点为格点,如图1中有9个格点。如果一个正方形的每个顶点都在格点上,那么这个正方形称为“格点正方形”。
【探索发现】
(1)观察图形完成下表：

从上述表格中你发现S与p,q之间有什么关系？
【继续猜想】
(2)类比格点正方形的概念,如果一个长方形的每个顶点都在格点上,那么这个长方形称为格点长方形。对于格点长方形的面积,你认为有类似(1)中的结论吗？试以图5中格点长方形为例来验证。
【学以致用】
(3)在图6中画一个格点三角形,使它的面积为5.5,且这个三角形内的格点数最多。

答案：
(1)
|图号|格点正方形边上的格点数p|格点正方形内的格点数q|$\frac{p}{2}+q-1$|格点正方形的面积S|
|----|----|----|----|----|
|图1|4|1|2|2|
|图2|4|4|5|5|
|图3|12|4|9|9|
|图4|4|7|8|8|
关系：$S=\frac{p}{2}+q-1$
(2)有类似结论，格点长方形的面积$S=\frac{p}{2}+q-1$。
验证：设图5中格点长方形边界格点数为$p$，内部格点数为$q$，经观察得$p=10$，$q=2$，则$\frac{p}{2}+q-1=\frac{10}{2}+2-1=5+2-1=6$，该长方形面积为$6$（长3宽2），故$S=\frac{p}{2}+q-1$成立。
(3)（画图略，描述：顶点为格点，例如取$(0,0)$，$(4,0)$，$(1,3)$，构成三角形，内部格点数最多为5）