《2025年新课标学习方法指导丛书七年级数学上册浙教版》

21. (12分)如图是由一些火柴棒搭成的图案。
(1)摆第①个图案用5根火柴棒,摆第②个图案用9根火柴棒,摆第③个图案用13根火柴棒。
(2)按照这种方式摆下去,摆第n个图案用4n + 1根火柴棒。(用含n的代数式表示)
(3)请问第几个图案恰好用了2025根火柴棒？
令$4n + 1 = 2025$，则$4n = 2025 - 1$，$4n = 2024$，$n = 2024÷4 = 506$。答：第506个图案恰好用了2025根火柴棒。

答案：
(1)
第②个图案：观察可得，它在第①个图案$5$根火柴棒的基础上，增加了$4$根火柴棒，所以摆第②个图案用$5 + 4=9$根火柴棒；
第③个图案：它在第②个图案$9$根火柴棒的基础上，又增加了$4$根火柴棒，所以摆第③个图案用$9 + 4 = 13$根火柴棒。
(2)
第①个图案用$5$根火柴棒，可写成$5 = 4×1 + 1$；
第②个图案用$9$根火柴棒，可写成$9 = 4×2 + 1$；
第③个图案用$13$根火柴棒，可写成$13 = 4×3 + 1$；
以此类推，摆第$n$个图案用$(4n + 1)$根火柴棒。
(3)
令$4n + 1 = 2025$，
则$4n=2025 - 1$，
$4n = 2024$，
$n = 2024÷4 = 506$。
综上，答案依次为：
(1)$9$，$13$；
(2)$4n + 1$；
(3)第$506$个图案恰好用了$2025$根火柴棒。

22. (12分)若a,b是有理数,定义一种运算“▲”：$a▲b= ab+2a-3b+2$。
(1)计算$3▲(-4)$的值。
(2)计算$(2▲3)▲(-6)$的值。
(3)定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程。

答案：
(1) $3▲(-4)=3×(-4)+2×3-3×(-4)+2=-12+6+12+2=8$
(2) $2▲3=2×3+2×2-3×3+2=6+4-9+2=3$，$3▲(-6)=3×(-6)+2×3-3×(-6)+2=-18+6+18+2=8$
(3) 不成立。探究过程：$a▲b=ab+2a-3b+2$，$b▲a=ba+2b-3a+2=ab+2b-3a+2$。假设$a▲b=b▲a$，则$ab+2a-3b+2=ab+2b-3a+2$，化简得$5a=5b$，即$a=b$。当$a≠b$时，$a▲b≠b▲a$，如$a=1$，$b=2$，$1▲2=1×2+2×1-3×2+2=2+2-6+2=0$，$2▲1=2×1+2×2-3×1+2=2+4-3+2=5$，$0≠5$，所以交换律不成立。