《2025年新课标学习方法指导丛书七年级数学上册浙教版》

25.(2分)上海举办过第十四届国际数学教育大会(简称ICME-14),会徽的主题图案(如图)有着丰富的数学元素,展现了中国古代数学的灿烂文明,图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数3745。

我们常用的数是十进制数,如$4657 = 4× 10^{3}+6× 10^{2}+5× 10^{1}+7× 1$；在计算机中用的是二进制数,如$110 = 1× 2^{2}+1× 2^{1}+0× 1$等于十进制数6。根据上述信息可知,八进制数3745换算成十进制是______2021。

答案： $2021$

26.(6分)某课外学习小组在一次学习研讨中解决了如下问题：求$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+… + 2^{2026}$的值。
分析：各加数的特点是从第二项起,每一项都是前一项的2倍。如果把各加数作为一列数,将这列数中的每一项都乘2,就得到新的一列数,新得到的一列数与原来的一列数有许多相同的项,可利用这个特点相减后求和。
解：设$S = 1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+… + 2^{2026}$,
则$2S= 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+… + 2^{2027}$,
所以$2S - S= 2^{2027}-1$,
所以$S = 2^{2027}-1$。
请仿照上面的解题方法,求下列式子的值：
(1)$1 + 3 + 3^{2}+3^{3}+… + 3^{9}+3^{10}$。
(2)$-6 - 6^{2}-6^{3}-6^{4}-… - 6^{2026}$。

答案：
(1)设$S = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \ldots + 3^{10}$，
则$3S = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \ldots + 3^{11}$，
所以$3S - S = 3^{11} - 1$，
$2S = 3^{11} - 1$，
所以$S = \frac{3^{11} - 1}{2}$。
(2)设$S = -6 - 6^{2} - 6^{3} - 6^{4} - \ldots - 6^{2026}$，
则$6S = -6^{2} - 6^{3} - 6^{4} - 6^{5} - \ldots - 6^{2027}$，
所以$6S - S = -6^{2027} + 6$，
$5S = 6 - 6^{2027}$，
所以$S = \frac{6 - 6^{2027}}{5}$。