《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

例 如图，$\triangle ABD \cong \triangle CFD$，且点$B$，$D$，$C$在同一条直线上，点$F$在$AD$上，延长$CF$交$AB$于点$E$。

(1)试说明$CE \perp AB$；
(2)若$BD = 3$，$AF = 1$，求$BC$的长。
解：(1)$\because \triangle ABD \cong \triangle CFD$，
$\therefore \angle ADB = \angle CDF$，$\angle A = \angle C$。
$\because$ 点$B$，$D$，$C$在同一条直线上，
$\therefore \angle ADB + \angle CDF = 180°$。
$\therefore \angle ADB = \angle CDF = 90°$。
$\therefore \angle A + \angle B = 90°$。
$\therefore \angle C + \angle B = 90°$。
$\therefore \angle BEC = 90°$。
$\therefore CE \perp AB$。
(2)$\because \triangle ABD \cong \triangle CFD$，$BD = 3$，
$\therefore FD = BD = 3$，$AD = CD$。
又$\because AF = 1$，
$\therefore CD = AD = AF + FD = 4$。
$\therefore BC = BD + CD = 7$。
$\therefore BC$的长为$7$。
方法点拨 本题考查了全等三角形的性质、三角形的内角和定理。熟练掌握全等三角形的性质、三角形的内角和定理是解题的关键。

答案：
(1)$\because \triangle ABD \cong \triangle CFD$，
$\therefore \angle ADB = \angle CDF$，$\angle A = \angle C$。
$\because$ 点$B$，$D$，$C$在同一条直线上，
$\therefore \angle ADB + \angle CDF = 180^{\circ}$。
$\therefore \angle ADB = \angle CDF = 90^{\circ}$。
$\because$ 在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle A + \angle B = 90^{\circ}$。
$\because \angle A = \angle C$，
$\therefore \angle C + \angle B = 90^{\circ}$。
$\because$ 在$\triangle BEC$中，$\angle C + \angle B + \angle BEC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle BEC = 180^{\circ} - (\angle C + \angle B) = 90^{\circ}$。
$\therefore CE \perp AB$。
(2)$\because \triangle ABD \cong \triangle CFD$，$BD = 3$，
$\therefore FD = BD = 3$，$AD = CD$。
$\because AF = 1$，
$\therefore AD = AF + FD = 1 + 3 = 4$。
$\therefore CD = AD = 4$。
$\because BC = BD + CD$，
$\therefore BC = 3 + 4 = 7$。
$\therefore BC$的长为$7$。

茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于$2007$年$4$月$29$日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一。设$A$，$B$两点分别为茗阳阁底座的两端（其中$A$，$B$两点均在地面上）。因为$A$，$B$两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，在平地上取一个可以直接到达点$A$，$B$的点$O$，连接$AO$并延长到点$C$，连接$BO$并延长到点$D$，使$CO = AO$，$DO = BO$，连接$DC$，测出$DC$的长即可。乙：如图②，先确定直线$AB$，过点$B$作$BD \perp AB$，在点$D$处用测角仪确定$\angle 1 = \angle 2$，射线$DC$交直线$AB$于点$C$，最后测量$BC$的长即可得线段$AB$的长。

(1)请用所学知识说明甲、乙两种方案的合理性；
(2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由。

答案：
(1)甲方案:
在△ABO和△CDO中，
$\begin{cases}$
OA = OC, \\
$\angle AOB = \angle COD, \\$
OB = OD,
$\end{cases}$
∴ △ABO ≌ △CDO(SAS).
∴ AB = CD.
乙方案:
∵ BD ⊥ AB,
∴ ∠DBA = ∠DBC = 90°.
在△DBA和△DBC中，
$\begin{cases}$
$\angle DBA = \angle DBC, \\$
DB = DB, \\
$\angle 1 = \angle 2,$
$\end{cases}$
∴ △DBA ≌ △DBC(ASA).
∴ AB = CB.
(2)选择甲方案.理由:甲方案使用工具简单，容易操作.(答案不唯一，合理即可)