《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

例1
分解因式：$9x^{2} + 30xy + 25y^{2} =$$(3x + 5y)^{2}$.
分析：原式$= (3x)^{2} + 30xy + (5y)^{2} = (3x + 5y)^{2}$.
答案：$(3x + 5y)^{2}$
方法点拨
1. 第一项$9x^{2}$是$3x$的平方，第三项$25y^{2}$是$5y$的平方.
2. 判断中间项$30xy$是否等于$2×3x×5y$，计算得$30xy$，符合.
3. 可以写成完全平方形式：$(3x)^{2} + 30xy + (5y)^{2} = (3x + 5y)^{2}$.

答案： $(3x + 5y)^{2}$

例2
分解因式：$16(m - n)^{2} - 40(m - n)n + 25n^{2} =$$(4m - 9n)^{2}$.
分析：原式$= [4(m - n)]^{2} - 40(m - n)n + (5n)^{2} = [4(m - n) - 5n]^{2} = (4m - 9n)^{2}$.
答案：$(4m - 9n)^{2}$
方法点拨
1. 第一项$16(m - n)^{2}$是$4(m - n)$的平方，第三项$25n^{2}$是$5n$的平方.
2. 判断中间项$-40(m - n)n$是否等于$-2×4(m - n)×5n$，计算得$-40(m - n)n$，符合.
3. 可以写成完全平方形式：$16(m - n)^{2} - 40(m - n)n + 25n^{2} = (4m - 9n)^{2}$.

答案： $(4m - 9n)^{2}$

阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：$(x + 2)(x + 3) = x^{2} + 5x + 6$；$(x - 1)(x + 3) = x^{2} + 2x - 3$. 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：$x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)·(x + 3)$；$x^{2} + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$. 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是$1$的二次三项式分解因式. 如将式子$x^{2} + 2x - 3$分解因式. 这个式子的二次项系数是$1 = 1×1$，常数项$-3 = (-1)×3$，一次项系数$2 = (-1) + 3$，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数；最后横向书写.
这样，我们就可以得到：$x^{2} + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
(1)$x^{2} + 7x + 10 =$$(x+5)(x+2)$；
(2)$x^{2} - 2x - 3 =$$(x-3)(x+1)$；
(3)$y^{2} - 7y + 12 =$$(y-3)(y-4)$；
(4)$x^{2} + 7x - 18 =$$(x-2)(x+9)$.

答案：
(1)$(x+5)(x+2)$
(2)$(x-3)(x+1)$
(3)$(y-3)(y-4)$
(4)$(x-2)(x+9)$