《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

知识点 平方差公式
1. 符号语言：(a+b)(a-b)=a²-b².
2. 文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

答案： 1. (a+b)(a-b)=a²-b²
2.和 差 积 平方差

例 若$(x + a)(x - 5) = x^2 + bx - 10$，则$(2a + b)\cdot(2a - b)$的值是(B)

A.$-7$
B.$7$
C.$-1$
D.$5$
分析：$\because$ $(x + a)(x - 5) = x^2 + (a - 5)x - 5a$，$(x + a)(x - 5) = x^2 + bx - 10$，
$\therefore$ $x^2 + (a - 5)x - 5a = x^2 + bx - 10$.
$\therefore$ $a - 5 = b$，$-5a = -10$.
$\therefore$ $a = 2$，$b = -3$.
$\therefore$ $(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2 = 4×2^2 - (-3)^2 = 16 - 9 = 7$.
答案：B
方法点拨
根据多项式乘多项式的法则，可得$(x + a)(x - 5) = x^2 + (a - 5)x - 5a$，从而求出$a$，$b$的值，进而代入即可求解.

答案： B

如图，在边长为$a$的正方形中挖去一个边长为$b$的小正方形$(a ＞ b)$，把余下的部分剪拼成一个长方形.
(1) 通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是(B)

A. $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C. $a^2 + ab = a(a + b)$
D. $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
(2) 运用你从(1)中选出的等式，完成下列各题：
① 已知$a + b = 6$，$a^2 - b^2 = 24$，求$a - b$的值；
② 计算：$(1 - \frac{1}{2^2})×(1 - \frac{1}{3^2})×(1 - \frac{1}{4^2})×\cdots×(1 - \frac{1}{2024^2})$.

答案：
(1)B
(2)①
∵ a+b=6,a²-b²=24，
∴ (a+b)(a-b)=24.
∴ 6(a-b)=24.
∴ a-b=4.
②原式$=(1-\frac{1}{2})×(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×$
$(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×(1+\frac{1}{4})×…×(1-\frac{1}{2024})×$
$(1+\frac{1}{2024})=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×…×\frac{2023}{2024}×$
$\frac{2025}{2024}=\frac{1}{2}×\frac{2025}{2024}=\frac{2025}{4048}$