《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

活动 1 月历中的奥秘(续)
1. 在月历中，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.

(1) 如图①是某月的月历，我们用如图所示的“Z”字形框任意框住月历中的 5 个数(如图①中的阴影部分)，将位置 B，D 上的数相乘，位置 A，E 上的数相乘，再相减，例如：$6×20 - 5×21 =$15，$3×17 - 2×18 =$15，不难发现，结果都等于15. (请完成填空)
(2) 设“Z”字形框中位置 C 上的数为 x，请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明.
(3) 如图②，在某月的月历中，长方形方框框住 9 个位置(阴影部分)上的数，如果最小的数和最大的数乘积为 17，那么中间位置上的数$a =$9.

答案： 1.
(1)15 15 15
(2)设C为x,则A,B,D,E四个数依次为
x-8,x-7,x+7,x+8,
∴ (x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15.
故结果都等于15.
(3)9

活动 2 和为定值的两数积的规律
2. 请阅读下列材料，并完成相应的任务.
“头同尾合十”的两位数乘法速算
所谓“头同尾合十”的两位数是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为 10. 其对应的乘法速算方法是：
第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用 0 表示；
第二步：用相同的十位数字乘比它大 1 的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面，像这样组成的数就是两位数相乘的结果.
例如：
速算$74×76$，先算$4×6 = 24$，再算$7×(7 + 1) = 56$，则$74×76 = 5624$；
速算$59×51$，先算$9×1 = 9$，再算$5×(5 + 1) = 30$，则$59×51 = 3009$.
任务：
(1) 利用上述速算方法，计算$32×38$：先算$2×8 = 16$，再算3×(3+1)=12，则$32×38 =$1216；
(2) 用$\overline{ab}$和$\overline{ac}$分别表示两个两位数，其中 a 表示十位数字，b 和 c 表示它们的个位数字，且$b + c = 10$；
① 根据题意，两位数$\overline{ab} = 10a + b$，则两位数$\overline{ac} =$10a+c；
② 为了说明该速算方法的正确性，请你证明$\overline{ab}×\overline{ac} = 100a(a + 1) + bc$成立.

答案： 2.
(1)3×(3+1)=12 1216
(2)①10a+c
$②\overline{ab}×\overline{ac} $
=(10a+b)(10a+c)
$=100a^{2}+10ac+10ab+bc $
$=100a^{2}+10a(b+c)+bc. $
∵ b+c=10,
∴$ 100a^{2}+10a(b+c)+bc $
$=100a^{2}+100a+bc $
=100a(a+1)+bc.
∴$ \overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc $成立.