《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

知识点 添括号法则
1. 符号语言：$a+b+c=a+(b+c)$,$a-b-c=a-(b+c)$。
2. 文字语言：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

答案： 1. $a+b+c=a+(b+c)$,$a-b-c=a-(b+c)$
2. 正号 不变符号 负号 改变符号

例 运用乘法公式进行计算：$(3x + b - 1)(3x - b + 1)$。
解：原式$=[3x + (b - 1)][3x - (b - 1)]$
$=(3x)^2 - (b - 1)^2$
$=9x^2 - (b^2 - 2b + 1)$
$=9x^2 - b^2 + 2b - 1$。
方法点拨 熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，适当添括号，然后运用公式进行计算。

答案： $(3x + b - 1)(3x - b + 1)$
$=[3x + (b - 1)][3x - (b - 1)]$
$=(3x)^2 - (b - 1)^2$
$=9x^2 - (b^2 - 2b + 1)$
$=9x^2 - b^2 + 2b - 1$

(1)$(a + b)^2$与$(a - b)^2$有怎样的联系，能否用一个等式来表示两者之间的关系？并尝试用图形来验证你的结论；
(2)若$x$满足$(40 - x)(x - 30) = - 20$，则$(40 - x)^2 + (x - 30)^2$的值为140；
(3)若$x$满足$(x - 3)(x - 1) = \frac{9}{4}$，则$(x - 3)^2 + (x - 1)^2$的值为$\frac{17}{2}$；
(4)如图，正方形$ABCD$的边长为$x$，$AE = 14$，$CG = 30$，长方形$EFGD$的面积是200，四边形$NGDH$和四边形$MEDQ$都是正方形，四边形$PQDH$是长方形，则图中阴影部分的面积是1056。(结果必须是一个具体的数值)

答案：
(1)$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$ 图略.
(2)140
(3)$\frac{17}{2}$
(4)1056