《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

**知识点** 单项式乘多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

答案： 相加

**例** 计算：
(1) $(-2x)^{2}(x^{2}-\frac{1}{2}x + 1)$；
(2) $a(a + 2b)-2b(a + b)$。
**解**：(1) 原式$=4x^{2}(x^{2}-\frac{1}{2}x + 1)$
$=4x^{4}-2x^{3}+4x^{2}$。
(2) 原式$=a^{2}+2ab - 2ab - 2b^{2}$
$=a^{2}-2b^{2}$。
**方法点拨** 整式的运算顺序与实数的运算顺序相同，先乘方，再乘除，最后加减，所以要看清楚运算种类。

答案：
(1)
原式$=(-2x)^{2}(x^{2}-\frac{1}{2}x + 1)$
$=4x^{2}(x^{2}-\frac{1}{2}x + 1)$
$=4x^{2}× x^{2}-4x^{2}×\frac{1}{2}x + 4x^{2}×1$
$=4x^{4}-2x^{3}+4x^{2}$
(2)
原式$=a(a + 2b)-2b(a + b)$
$=a^{2}+2ab-(2ab + 2b^{2})$
$=a^{2}+2ab - 2ab - 2b^{2}$
$=a^{2}-2b^{2}$

如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为$(2a + b)\mathrm{m}$，宽为$(a + b)\mathrm{m}$，小正方形的边长为$a\mathrm{m}$。
(1) 求剩余铁皮的面积；
(2) 当$a = 3$，$b = 2$时，求剩余铁皮的面积。

答案：
(1)剩余铁皮的面积为$(a^{2}+3ab+b^{2})m^{2}$.
(2)将$a = 3,b = 2$代入$a^{2}+3ab+b^{2}$，
得$3^{2}+3×3×2 + 2^{2}=31$.
$\therefore$剩余铁皮的面积为$31m^{2}$.