《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

活动 1 个位数字是 5 的两位数平方的规律
1. 设个位数字是 5 的两位数为 $ 10a + 5 $（$ a $ 为 $ 1 \sim 9 $ 的整数），利用完全平方公式 $ (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 $，证明 $ (10a + 5)^2 $ 的结果符合“末两位是 25，前面的数是 $ a(a + 1) $”这一规律。
2. 观察 $ 105×105 = 11025 $，$ 125×125 = 15625 $，对于个位是 5 的三位数平方，是否也存在类似规律？若存在，用代数形式（设该三位数为 $ 100b + 10c + 5 $，$ b $，$ c $ 都为 $ 0 \sim 9 $ 的整数）说明理由。

答案： 1.$(10a+5)^{2}=(10a)^{2}+2×10a×5+5^{2}=100a(a+1)+25$.
显然，结果的末两位是25，前面的数是$a(a+1)$.
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活动 2 利用因式分解生成密码
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或 0 的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码。例如多项式 $ x^2y - 4y $，将其分解因式为 $ y(x + 2)(x - 2) $。若取 $ x = 15 $，$ y = 12 $，则有 $ y = 12 $，$ x + 2 = 17 $，$ x - 2 = 13 $，其中 12，17，13 分别为因式码。将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码 121317。当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码。
3. 已知多项式 $ x^3 - x $。
(1) 当 $ x = 5 $ 时，用上述方法生成的密码是什么？
(2) 若生成密码的前两个因式码为 2，3，你能求出第三个因式码吗？
4. 已知多项式 $ 4x^2 - 9y^2 $。
(1) 当 $ x = 3 $，$ y = 1 $ 时，生成的密码是什么？
(2) 若密码中有因式码 3 和 9，且 $ x $，$ y $ 均为正整数，求 $ x $，$ y $ 的值。

答案： 3.
(1)456
(2)第三个因式码为4.
4.
(1)生成的密码为39.
(2)$x=3,y=1$.