《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”。例如：$8 = 3^{2} - 1^{2}$，$16 = 5^{2} - 3^{2}$，$24 = 7^{2} - 5^{2}$，因此$8$，$16$，$24$都是“登高数”。
（1）特例感知：判断$40$是否为“登高数”，并说明理由。
（2）规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为$2k - 1$和$2k + 1$，其中$k$是正整数，那么“登高数”都能被$8$整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，举例说明。
（3）拓展应用：求不超过$2000$的所有“登高数”的和。

答案：
(1)40是“登高数”。
理由：设$40 = (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2$，
解得$n = 5$。
$\therefore 40 = 11^2 - 9^2$。
$\therefore 40$是“登高数”。
(2)“登高数”能被8整除。
理由：$(2k + 1)^2 - (2k - 1)^2$
$= [(2k + 1) + (2k - 1)][(2k + 1) - (2k - 1)]$
$= (2k + 1 + 2k - 1)(2k + 1 - 2k + 1)$，
$= 4k × 2$
$= 8k$，
$\because k$是正整数，
$\therefore 8k$能被8整除。
$\therefore (2k + 1)^2 - (2k - 1)^2$能被8整除。
$\therefore$“登高数”都能被8整除。
(3)由
(2)可知“登高数”能被8整除。
$\because 2000 = 250 × 8$，
$\therefore$不超过2000的所有“登高数”有8，16,24,$\cdots$,1992,2000。
$\therefore 8 + 16 + 24 + \cdots + 1992 + 2000$
$= 8 × 1 + 8 × 2 + 8 × 3 + \cdots + 8 × 249 + 8 × 250$
$= 8 × (1 + 2 + 3 + \cdots + 249 + 250)$
$= 8 × \frac{1 + 250}{2} × 250$
$= 251000$。

1. 分解因式$(2x + 3)^{2} - x^{2}$的结果是(D)

A.$3(x^{2} + 4x + 3)$
B.$3(x^{2} + 2x + 3)$
C.$(3x + 3)(x + 3)$
D.$3(x + 1)(x + 3)$

答案： 1.D

2. 分解因式：
（1）$2x^{2} - 8$；
（2）$4a - a^{3}$；
（3）$ax^{2} - ay^{2}$；
（4）$9 - (x - 2y)^{2}$；
（5）$(x + y)^{2} - (x - y)^{2}$。

答案： 2.
(1)$2(x + 2)(x - 2)$
(2)$a(2 + a)(2 - a)$
(3)$a(x + y)(x - y)$
(4)$(3 + x - 2y)(3 - x + 2y)$
(5)$4xy$

3. 小明抄在作业本上的式子$x^{\oplus} - 9y^{2}$(“$\oplus$”表示漏抄的指数)，不小心漏抄了$x$的指数，他只知道该数为不大于$5$的整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：$(x + 3y)(x - 3y)$或$(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$。

答案： 3.$(x + 3y)(x - 3y)$或$(x^2 + 3y)(x^2 - 3y)$

4. 若将$(2x)^{n} - 81$分解成$(4x^{2} + 9)(2x + 3)(2x - 3)$，则$n$的值是4。

答案： 4.4

5. 分解因式：
(1)$x^{4} - y^{4} =$$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$；
(2)$a^{3}b - ab =$$ab(a + 1)(a - 1)$。

答案： 5.
(1)$(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)$
(2)$ab(a + 1)(a - 1)$

6. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式$x^{2} - □ y^{2}$(“$□$”表示漏抄的部分)中$y^{2}$前面的式子，若该二项式能因式分解，则“$□$”不可能是(C)

A.$x$
B.$4$
C.$-4$
D.$9$

答案： 6.C