《2025年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版》

 知识点3 分式中的系数化整问题
利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了系数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件。
分式的分子与分母中各项系数化“整”的方法：
当分式的分子与分母中各项系数是分数时，分式的分子、分母同乘分子和分母中所有分数系数的分母的最小公倍数；当分式的分子与分母中各项系数是小数时，一般情况下，分式的分子、分母同乘10的正整数倍。

答案： 最小公倍数 10的正整数倍

例 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中都不含“-”号。
（1）$\frac{-3b}{2a}$；（2）$\frac{5y}{-7x^{2}}$；（3）$\frac{-a - 2b}{2a + b}$。
分析：在分子的符号、分母的符号、分式本身的符号三者当中同时改变其中的两个，分式的值不变。
解：（1）原式$=-\frac{3b}{2a}$；
（2）原式$=-\frac{5y}{7x^{2}}$；
（3）原式$=-\frac{a + 2b}{2a + b}$。
方法点拨 在分式的符号化简这类题目中容易出现的错误是把分子、分母的项的符号，特别是首项的符号当成分子或分母的符号。

答案： （1）
$原式= -\frac{3b}{2a}$；
（2）
$原式= -\frac{5y}{7x^{2}}$；
（3）
$原式= -\frac{a + 2b}{2a + b}$。

在求$1 + 6 + 6^{2} + 6^{3} + 6^{4} + 6^{5} + 6^{6} + 6^{7} + 6^{8} + 6^{9}$的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
$S = 1 + 6 + 6^{2} + 6^{3} + 6^{4} + 6^{5} + 6^{6} + 6^{7} + 6^{8} + 6^{9}$， ①
然后在①式的两边都乘6，得
$6S = 6 + 6^{2} + 6^{3} + 6^{4} + 6^{5} + 6^{6} + 6^{7} + 6^{8} + 6^{9} + 6^{10}$， ②
由② - ①，得$6S - S = 6^{10} - 1$，即$5S = 6^{10} - 1$，所以$S = \frac{6^{10} - 1}{5}$。得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”($a\neq0$且$a\neq1$)，能否求出$1 + a + a^{2} + a^{3} + a^{4} + \cdots + a^{2026}$的值？你的答案是(B)

A.$\frac{a^{2026} - 1}{a}$
B.$\frac{a^{2027} - 1}{a - 1}$
C.$\frac{a^{2027} - 1}{a}$
D.$a^{2025} - 1$

答案： B

1. 填空：
（1）$\frac{a^{2}}{2bc}=\frac{(\quad)}{2b^{2}c^{2}}$；
（2）$\frac{x}{x^{2} - 2x}=\frac{(\quad)}{x - 2}$；
（3）$\frac{(\quad)}{3x}=\frac{5xy^{2}}{3x^{2}y}$；
（4）$\frac{y + 2}{y^{2} - 4}=\frac{1}{(\quad)}$。

答案： $1.(1)a^{2}bc$
(2)1
(3)5y
(4)y-2