《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册人教版浙江专版》

11. 已知关于x的方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}= 0$有实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且$(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 3$,求m的值.

答案：
(1)$\because$关于$x$的方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}=0$有实数根,$\therefore \Delta=[-(2m-1)]^{2}-4m^{2}\geq0$,解得$m\leq\frac{1}{4}$
(2)$\because$方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}=0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,$\therefore x_{1}+x_{2}=2m-1$,$x_{1}x_{2}=m^{2}$.$\because (x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1=3$,$\therefore m^{2}+2m-1+1=3$.整理,得$m^{2}+2m-3=0$,解得$m_{1}=1$,$m_{2}=-3$.由
(1),知$m\leq\frac{1}{4}$.$\therefore m=-3$

12. 已知关于x的方程$x^{2}-2x+m-2= 0有两个实数根x_{1},x_{2}$.求：
(1)实数m的取值范围；
(2)$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$的最小值.

答案：
(1)由题意,得$\Delta=(-2)^{2}-4(m-2)\geq0$,解得$m\leq3$
(2)由题意,得$x_{1}+x_{2}=2$,$x_{1}x_{2}=m-2$.$\therefore 3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}=3(x_{1}+x_{2})-x_{1}x_{2}=3×2-(m-2)=-m+8$.$\because m\leq3$,$\therefore$当$m=3$时,$3x_{1}+3x_{2}-x_{1}x_{2}$取得最小值,为$-3+8=5$

13. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x-3m^{2}= 0$.
(1)求证:方程总有两个不等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α,β,且$α+2β= 5$,求m的值.

答案：
(1)由题意,得$\Delta=(-2)^{2}-4(-3m^{2})=4+12m^{2}＞0$,$\therefore$方程总有两个不等的实数根
(2)由题意,得$\begin{cases} \alpha+\beta=2, \\ \alpha+2\beta=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} \alpha=-1, \\ \beta=3. \end{cases}$$\because \alpha\beta=-3m^{2}$,$\therefore -3m^{2}=-3$,解得$m=\pm1$.$\therefore m$的值为$\pm1$

14. (2023·仙桃)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m= 0$.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若$(2a+b)(a+2b)= 20$,求m的值.

答案：
(1)$\because \Delta=[-(2m+1)]^{2}-4×1×(m^{2}+m)=1＞0$,$\therefore$无论$m$取何值,方程都有两个不等的实数根
(2)$\because$方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m=0$的两个实数根为$a,b$,$\therefore a+b=2m+1$,$ab=m^{2}+m$.$\because (2a+b)(a+2b)=20$,$\therefore 2a^{2}+4ab+2b^{2}+ab=20$.$\therefore 2(a+b)^{2}+ab=20$.$\therefore 2(2m+1)^{2}+m^{2}+m=20$,即$m^{2}+m-2=0$,解得$m=1$或$m=-2$.$\therefore m$的值为1或$-2$