《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册人教版浙江专版》

1.(2022·攀枝花)如图,二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象与x轴交于O(O为坐标原点),A两点,且二次函数的最小值为-1,M(1,m)是其图象的对称轴上一点,y轴上一点B的坐标为(0,1),连接AB.
(1)求二次函数的解析式.
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P,连接PA,PB,设点P的横坐标为t,$\triangle PAB$的面积为S,求S与t之间的函数解析式.
(3)在二次函数的图象上是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)
∵二次函数的最小值为−1，M(1,m)是其图象的对称轴上一点，
∴二次函数图象的顶点坐标为(1,−1)。设二次函数的解析式为$y=a(x−1)^{2}-1$。将O(0,0)代入，得$a - 1 = 0$，解得$a = 1$。
∴二次函数的解析式为$y=(x - 1)^{2}-1=x^{2}-2x$。
(2)连接OP。当$y = 0$时，$x^{2}-2x = 0$，
∴$x = 0$或$x = 2$。
∴$A(2,0)$。
∵点$P$在抛物线$y = x^{2}-2x$上，且点$P$的横坐标为$t$，
∴点$P$的纵坐标为$t^{2}-2t$。
∴$S = S_{\triangle AOB}+S_{\triangle OAP}-S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2(-t^{2}+2t)-\frac{1}{2}t=-t^{2}+\frac{3}{2}t + 1$ ($0 ＜ t ＜ 2$)。
(3)存在。设$N(n,n^{2}-2n)$。当$AB$为对角线时，由中点坐标公式，得$2 + 0 = 1 + n$，解得$n = 1$。
∴$N(1,-1)$。当$AM$为对角线时，由中点坐标公式，得$2 + 1 = n + 0$，解得$n = 3$。
∴$N(3,3)$。当$AN$为对角线时，由中点坐标公式，得$2 + n = 0 + 1$，解得$n = -1$。
∴$N(-1,3)$。综上所述，点$N$的坐标为$(1,-1)$或$(3,3)$或$(-1,3)$。

2.(2022·烟台)如图,直线$y= \frac{4}{3}x+4$与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线$y= ax^{2}+bx+c$经过A,C两点,且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线$x= -1$.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)设D是第二象限内抛物线上的动点,连接AD,CD,BC,点D的横坐标为m,求四边形ABCD的面积S的最大值及此时点D的坐标.
(3)若点P在抛物线的对称轴上,则是否存在点P,Q,使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在,请求出P,Q两点的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)在$y=\frac{4}{3}x + 4$中，令$x = 0$，则$y = 4$；令$y = 0$，则$x = -3$，
∴$C(0,4)$，$A(-3,0)$。
∵抛物线的对称轴为直线$x = -1$，
∴易得$B(1,0)$。
∴设抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - 1)(x + 3)$。将$C(0,4)$代入，得$-3a = 4$，
∴$a = -\frac{4}{3}$，
∴抛物线对应的函数解析式为$y = -\frac{4}{3}(x - 1)(x + 3)=-\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{3}x + 4$。
(2)如图，过点$D$作$DF\perp AB$于点$F$，交$AC$于点$E$。由题意，得点$D$的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m^{2}-\frac{8}{3}m + 4)$，则点$E$的坐标为$(m,\frac{4}{3}m + 4)$。
∴$DE = -\frac{4}{3}m^{2}-\frac{8}{3}m + 4 - (\frac{4}{3}m + 4)=-\frac{4}{3}m^{2}-4m$。
∴$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}DE\cdot OA=\frac{3}{2}\cdot(-\frac{4}{3}m^{2}-4m)=-2m^{2}-6m$。
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}×4×4 = 8$，
∴$S = -2m^{2}-6m + 8=-2(m + \frac{3}{2})^{2}+\frac{25}{2}$。
∵$-2 ＜ 0$，
∴当$m = -\frac{3}{2}$时，$S$取得最大值，为$\frac{25}{2}$。当$m = -\frac{3}{2}$时，$-\frac{4}{3}m^{2}-\frac{8}{3}m + 4 = -\frac{4}{3}×(-\frac{3}{2})^{2}-\frac{8}{3}×(-\frac{3}{2}) + 4 = 5$，
∴点$D$的坐标为$(-\frac{3}{2},5)$。
(3)存在。设$P(-1,n)$。
∵以$A$，$C$，$P$，$Q$为顶点的四边形是以$AC$为对角线的菱形，
∴$PA = PC$，即$PA^{2}=PC^{2}$，
∴$(-1 + 3)^{2}+n^{2}=1^{2}+(n - 4)^{2}$，解得$n = \frac{13}{8}$。
∴$P(-1,\frac{13}{8})$。
∵$x_{P}+x_{Q}=x_{A}+x_{C}$，$y_{P}+y_{Q}=y_{A}+y_{C}$，
∴$x_{Q}=-3 + 0 - (-1)=-2$，$y_{Q}=0 + 4 - \frac{13}{8}=\frac{19}{8}$。
∴$Q(-2,\frac{19}{8})$。
∴$P$，$Q$两点的坐标分别为$(-1,\frac{13}{8})$，$(-2,\frac{19}{8})$。