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1. 一元二次方程：等号两边都是整式,只含有______未知数(一元),并且未知数的最高次数是______(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般形式为______. 其中______是二次项,______是二次项系数；______是一次项,______是一次项系数；______是常数项.
3. 使得一元二次方程左右两边______的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______.
2. 一元二次方程的一般形式为______. 其中______是二次项,______是二次项系数；______是一次项,______是一次项系数；______是常数项.
3. 使得一元二次方程左右两边______的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的______.
答案：
1. 一个 2 2. $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ $ax^{2}$ a $bx$ b c 3. 相等 根
1. (2023·温岭期末)下列方程中,是一元二次方程的为( )
A.$3x^2 + y = 2$
B.$x^2 - \frac{1}{x} + 1 = 0$
C.$x^2 - 5x = 3$
D.$x - 3y + 1 = 0$
A.$3x^2 + y = 2$
B.$x^2 - \frac{1}{x} + 1 = 0$
C.$x^2 - 5x = 3$
D.$x - 3y + 1 = 0$
答案：
C
2. (2023·台州期中)若关于$x的方程x^2 + ax - 2 = 0有一个根是x = 1$,则$a = $______.
答案：
1
3. 有一个面积为$144\ m^2$的矩形游泳池,已知游泳池的长比宽多$7\ m$,求游泳池的长. 设游泳池的长为$x\ m$,则可列方程为______.
答案：
$x(x-7)=144$
4. (教材P4练习第1题变式)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)$4x^2 - 1 = 5x$；
(2)$3x(x - 3) = 2x^2 - 1$；
(3)$(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$；
(4)$(y + 5)(2y - 1) = y(y - 8)$.
(1)$4x^2 - 1 = 5x$；
(2)$3x(x - 3) = 2x^2 - 1$；
(3)$(3x - 1)(x + 2) = -x^2 + 5x + 1$；
(4)$(y + 5)(2y - 1) = y(y - 8)$.
答案：
（1）$4x^{2}-5x-1=0$ 二次项系数、一次项系数、常数项分别为4，-5，-1 （2）$x^{2}-9x+1=0$ 二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，-9，1 （3）$4x^{2}-3=0$ 二次项系数、一次项系数、常数项分别为4，0，-3 （4）$y^{2}+17y-5=0$ 二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，17，-5
5. (2023·温岭期末)若$a是关于x的方程3x^2 - x - 1 = 0$的一个根,则$2021 - 6a^2 + 2a$的值是( )
A.2023
B.2022
C.2020
D.2019
A.2023
B.2022
C.2020
D.2019
答案：
D
6. 阅读下面的材料：
定义：如果关于$x的方程a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$($a_1 \neq 0$,$a_1$,$b_1$,$c_1$是常数)与$a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$($a_2 \neq 0$,$a_2$,$b_2$,$c_2$是常数)的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_1 + a_2 = 0$,$b_1 = b_2$,$c_1 + c_2 = 0$,那么这两个方程互为“对称方程”. 例如：求方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的“对称方程”时,可以这样思考：由方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$可知,$a_1 = 2$,$b_1 = -3$,$c_1 = 1$,根据$a_1 + a_2 = 0$,$b_1 = b_2$,$c_1 + c_2 = 0$,求出$a_2$,$b_2$,$c_2$的值就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面的问题：
(1)方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的“对称方程”是______；
(2)若关于$x的方程5x^2 + (m - 1)x - n = 0与-5x^2 - x = 1$互为“对称方程”,求$(m + n)^2$的值.
定义：如果关于$x的方程a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$($a_1 \neq 0$,$a_1$,$b_1$,$c_1$是常数)与$a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$($a_2 \neq 0$,$a_2$,$b_2$,$c_2$是常数)的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_1 + a_2 = 0$,$b_1 = b_2$,$c_1 + c_2 = 0$,那么这两个方程互为“对称方程”. 例如：求方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的“对称方程”时,可以这样思考：由方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$可知,$a_1 = 2$,$b_1 = -3$,$c_1 = 1$,根据$a_1 + a_2 = 0$,$b_1 = b_2$,$c_1 + c_2 = 0$,求出$a_2$,$b_2$,$c_2$的值就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面的问题：
(1)方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的“对称方程”是______；
(2)若关于$x的方程5x^2 + (m - 1)x - n = 0与-5x^2 - x = 1$互为“对称方程”,求$(m + n)^2$的值.
答案：
（1）$-x^{2}-4x-3=0$ （2）对方程$-5x^{2}-x=1$进行移项，可得$-5x^{2}-x-1=0$.
∵ 方程$5x^{2}+(m-1)x-n=0$与$-5x^{2}-x-1=0$互为“对称方程”，
∴ $m-1=-1$，$-n+(-1)=0$，解得$m=0$，$n=-1$.
∴ $(m+n)^{2}=[0+(-1)]^{2}=1$.
∴ $(m+n)^{2}$的值是1
∵ 方程$5x^{2}+(m-1)x-n=0$与$-5x^{2}-x-1=0$互为“对称方程”，
∴ $m-1=-1$，$-n+(-1)=0$，解得$m=0$，$n=-1$.
∴ $(m+n)^{2}=[0+(-1)]^{2}=1$.
∴ $(m+n)^{2}$的值是1
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