《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册人教版浙江专版》

8. 如图,AB 是$\odot O$的直径,点 C,D 在$\odot O$上,且点 C,D 在 AB 的异侧,连接 AD,OD,OC.若$\angle AOC= 70^{\circ}$,且$AD// OC$,则$\angle AOD$的度数为( )

A.$70^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： D

9. 如图,AB 为$\odot O$的直径,$CD\perp AB$于点 C,四边形 CDEF 是正方形,连接 BD.若$OC= 3$,$OF= 1$,则 BD 的长为( )

A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.13
D.$2\sqrt{10}$

答案： B

10. 如图,半圆 O 的直径$AB= 8$,半径$OC\perp AB$,D 为$\overset{\frown}{AC}$上一点,$DE\perp OC$,$DF\perp OA$,垂足分别为 E,F,连接 EF,则 EF 的长为______.

答案： 4

11. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC= 2$.以 BC 的长为直径的半圆 O 交 AB 于点 D,P 是$\overset{\frown}{CD}$上的一个动点,连接 AP,则 AP 长的最小值为______.

答案： $\sqrt{5}-1$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,以 AB 为直径的$\odot O$交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,连接 OD,OE.若$\angle C= 70^{\circ}$,求$\angle DOE$的度数.

答案：
∵ ∠C=70°,
∴ ∠A+∠B=180°-∠C=110°.
∵ OA=OD,OB=OE,
∴ ∠A=∠ADO,∠B=∠BEO.
∴ ∠A+∠ADO+∠B+∠BEO=220°.
∴ ∠AOD+∠BOE=360°-220°=140°.
∴ ∠DOE=180°-(∠AOD+∠BOE)=40°

13. 在$\odot O$中,直径$AB= 6$,BC 是弦,$\angle ABC= 30^{\circ}$,点 P 在 BC 上,点 Q 在$\odot O$上,且$OP\perp PQ$.
(1)如图①,当$PQ// AB$时,求 PQ 的长；
(2)如图②,当点 P 在 BC 上移动时,求 PQ 长的最大值.

答案：
(1) 连接 OQ.
∵ PQ//AB,OP⊥PQ,
∴ OP⊥AB.
∵ AB=6,
∴ OB=OQ=3.
∵ ∠ABC=30°,
∴ PB=2OP.设 OP=x,则 PB=2x.
∵ 在 Rt△PBO 中,PB²=OP²+OB²,
∴ (2x)²=x²+3²,解得 x₁=√3,x₂=-√3(不合题意,舍去).
∴ OP=√3.
∴ 在 Rt△PQO 中,由勾股定理,得 PQ=√(OQ²-OP²)=√6
(2) 连接 OQ.由勾股定理,得 PQ=√(OQ²-OP²)=√(9-OP²).要使得 PQ 的长取最大值,需 OP 的长取最小值,此时 OP⊥BC.
∵ ∠ABC=30°,
∴ OP= $\frac{1}{2}$OB= $\frac{3}{2}$.
∴ PQ 长的最大值为√(3²-($\frac{3}{2}$)²)= $\frac{3\sqrt{3}}{2}$