《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册人教版浙江专版》

8. 当$3\leq x\leq5$时,二次函数$y= \frac{1}{2}(x-1)^2+k$的最小值是3,则$k$的值为( )

A.5
B.-5
C.1
D.-1

答案： C

9. 已知二次函数$y= (x-m)^2-1$,当$x\leq3$时,$y随x$的增大而减小,则$m$的取值范围是______.

答案： m≥3

10. 小明同学在用描点法画二次函数$y= a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象时,列出表格如下：
| $x$ | …$$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | …$$ |
| $y$ | …$$ | $m$ | $3$ | $2$ | $3$ | $6$ | …$$ |
表中$m$的值是______.

答案： 6

11. 已知二次函数$y= (x-2a)^2+a-1$($a$为常数),当$a$取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.如图所示为当$a= -1$,$a= 0$,$a= 1$,$a= 2$时二次函数的图象,它们的顶点在同一条直线上,则这条直线对应的函数解析式为$y= $______.

答案： $\frac{1}{2}$x−1　解析:由题意，得二次函数图象的顶点坐标为(2a，a−1).设x=2a①，y=a−1②，则由①−②×2，得x−2y=2.
∴y=$\frac{1}{2}$x−1.

12. 如图,抛物线$y= a(x-h)^2+k(a＜0,k＞0)的顶点为A$,对称轴与$x轴交于点C$,当以$AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B$,$D$恰好在抛物线上时,我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”.正方形$ABCD$为它的内接正方形.

(1)若抛物线$y= ax^2+2$是“美丽抛物线”,则$a= $______；
(2)若抛物线$y= -\frac{1}{2}(x-1)^2+k$是“美丽抛物线”,则$k$的值为______；
(3)若抛物线$y= a(x-h)^2+k$是“美丽抛物线”,求$a$,$k$之间的数量关系.

答案：
(1)−1　
(2)4　
(3)易知抛物线经过点(h+$\frac{1}{2}$k,$\frac{1}{2}$k)，
∴$\frac{1}{2}$k=a(h+$\frac{1}{2}$k−h)²+k.整理，得k(ak+2)=0.
∵k＞0，
∴ak=−2.
∴a,k之间的数量关系为ak=−2

13. 如图,二次函数$y= (x-2)^2+m的图象与y轴交于点C$,$B是点C$关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数$y= kx+b(k≠0)的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B$.

(1)求二次函数与一次函数的解析式.
(2)连接$AC$,$BC$,抛物线上是否存在一点$P$,使得$S_{\triangle ABP}= S_{\triangle ABC}$？若存在,请求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)由题意，得(1−2)²+m=0，解得m=−1.
∴二次函数的解析式为y=(x−2)²−1.
∴该二次函数图象的对称轴为直线 x=2.当x=0时，y=(0−2)²−1=3，
∴点C的坐标为(0,3).
∵点B与点C关于直线x=2对称，
∴点B的坐标为(4,3).将A(1,0)，B(4,3)代入y=kx+b，得$\begin{cases} k+b=0, \\ 4k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1, \\ b=-1. \end{cases}$
∴一次函数的解析式为y=x−1　
(2)存在　易知点 P在直线AB上方.如图，过点C作CP//AB交抛物线于点P，连接AP,BP，此时S△ABP=S△ABC.
∵直线AB对应的函数解析式为y=x−1，CP//AB，
∴设直线CP对应的函数解析式为y=x+b'.把C(0,3)代入，得b' =3.
∴y=x+3.联立$\begin{cases} y=x+3, \\ y=(x-2)^2-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1= 0, \\ y_1=3, \end{cases} \begin{cases} x _2=5, \\ y_2=8. \end {cases}$
∴点P的坐标为 (5,8 )