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二次函数$y= ax^{2}+k$的图象是一条抛物线,它的对称轴是______,顶点坐标是______,是由抛物线$y= ax^{2}$向______(或向______)平移______个单位长度得到的.
答案：
y轴 $(0,k)$ 上 下 $|k|$
1. 已知二次函数$y= -2x^{2}+1$,则下列说法中,正确的是( )
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是$(-2,1)$
C.当$x＜0$时,$y随x$的增大而增大
D.当$x= 0$时,$y取得最大值\frac{1}{2}$
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是$(-2,1)$
C.当$x＜0$时,$y随x$的增大而增大
D.当$x= 0$时,$y取得最大值\frac{1}{2}$
答案：
C
2. (2022·椒江期末改编)对于二次函数$y= 2x^{2}+1$的图象,下列说法中错误的是( )
A.开口向上
B.对称轴为$y$轴
C.顶点坐标为$(0,1)$
D.对于图象上的点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$,当$x_{1}＜x_{2}$时,总有$y_{1}＜y_{2}$
A.开口向上
B.对称轴为$y$轴
C.顶点坐标为$(0,1)$
D.对于图象上的点$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$,当$x_{1}＜x_{2}$时,总有$y_{1}＜y_{2}$
答案：
D
3. (2023·镇江)二次函数$y= -2x^{2}+9$的最大值为______.
答案：
9
4. (2023·台州期中)将抛物线$y= x^{2}+1$向下平移3个单位长度,得到的抛物线对应的函数解析式为______.
答案：
$y=x^{2}-2$
5. (2022·仙居期末)抛物线$y= x^{2}-1与y$轴的交点坐标是______.
答案：
$(0,-1)$
6. 若抛物线$y= ax^{2}+k的顶点在直线y= -2$上,且当$x= 1$时,$y= -3$,则$a= $______,$k= $______.
答案：
-1 -2
7. 已知二次函数的图象以$A(0,1)$为顶点,且过点$B(2,3)$.
(1) 求该二次函数的解析式;
(2) 画出该二次函数的图象;
(3) 若直线$y= -\frac{1}{2}x+2与该二次函数的图象交于C,D$两点(点$C在点D$的左侧),求$\triangle ACD$的面积.
(1) 求该二次函数的解析式;
(2) 画出该二次函数的图象;
(3) 若直线$y= -\frac{1}{2}x+2与该二次函数的图象交于C,D$两点(点$C在点D$的左侧),求$\triangle ACD$的面积.
答案：
（1）由题意，可设该二次函数的解析式为$y=ax^{2}+c(a≠0).$将$A(0,1),B(2,3)$代入，得$\left\{\begin{array}{l} c=1,\\ 4a+c=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=\frac {1}{2},\\ c=1.\end{array}\right. $
∴该二次函数的解析式为$y=\frac {1}{2}x^{2}+1$ （2）如图所示 （3）在$y=-\frac {1}{2}x+2$中，令$x=0$，则$y=2$.
∴直线$y=-\frac {1}{2}x+2$与y轴的交点坐标为$(0,2)$.令$-\frac {1}{2}x+2=\frac {1}{2}x^{2}+1$，即$x^{2}+x-2=0,$解得$x_{1}=-2,x_{2}=1$.
∴点C的横坐标为-2，点D的横坐标为1.
∴$S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}×(2-1)×|-2|+\frac {1}{2}×(2-1)×1=\frac {3}{2}$
（1）由题意，可设该二次函数的解析式为$y=ax^{2}+c(a≠0).$将$A(0,1),B(2,3)$代入，得$\left\{\begin{array}{l} c=1,\\ 4a+c=3,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=\frac {1}{2},\\ c=1.\end{array}\right. $
∴该二次函数的解析式为$y=\frac {1}{2}x^{2}+1$ （2）如图所示 （3）在$y=-\frac {1}{2}x+2$中，令$x=0$，则$y=2$.
∴直线$y=-\frac {1}{2}x+2$与y轴的交点坐标为$(0,2)$.令$-\frac {1}{2}x+2=\frac {1}{2}x^{2}+1$，即$x^{2}+x-2=0,$解得$x_{1}=-2,x_{2}=1$.
∴点C的横坐标为-2，点D的横坐标为1.
∴$S_{\triangle ACD}=\frac {1}{2}×(2-1)×|-2|+\frac {1}{2}×(2-1)×1=\frac {3}{2}$
8. 如图,抛物线$y= x^{2}-4与x轴交于点A,B$(点$A在点B$的左侧),$C$为顶点,直线$y= x+m经过点A$,与$y轴交于点D$,与该抛物线的另一交点为$E$.
(1) 求$\triangle BCD$的面积;
(2) 一条新抛物线关于$y$轴对称,且经过$D$,$E$两点,求这条新抛物线对应的函数解析式.
(1) 求$\triangle BCD$的面积;
(2) 一条新抛物线关于$y$轴对称,且经过$D$,$E$两点,求这条新抛物线对应的函数解析式.
答案：
（1）令$y=0$，则$x^{2}-4=0$，解得$x_{1}=-2,x_{2}=2,$
∴$A(-2,0),B(2,0)$.把$A(-2,0)$代入$y=x+m$，得$-2+m=0$，解得$m=2$.
∴直线AD对应的函数解析式为$y=x+2$.当$x=0$时，$y=2$，
∴$D(0,2)$.
∵C是抛物线$y=x^{2}-4$的顶点，
∴$C(0,-4)$.
∴$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle OBD}+S_{\triangle OBC}=\frac {1}{2}×2×2+\frac {1}{2}×2×4=6$ （2）
∵新抛物线关于y轴对称，且经过点D，
∴D为新抛物线的顶点.联立$\left\{\begin{array}{l} y=x^{2}-4,\\ y=x+2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-2,\\ y_{1}=0,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x_{2}=3,\\ y_{2}=5.\end{array}\right. $
∴点E的坐标为$(3,5)$.设新抛物线对应的函数解析式为$y=ax^{2}+2(a≠0)$.把$E(3,5)$代入，得$9a+2=5$，解得$a=\frac {1}{3}$.
∴新抛物线对应的函数解析式为$y=\frac {1}{3}x^{2}+2$
∴$A(-2,0),B(2,0)$.把$A(-2,0)$代入$y=x+m$，得$-2+m=0$，解得$m=2$.
∴直线AD对应的函数解析式为$y=x+2$.当$x=0$时，$y=2$，
∴$D(0,2)$.
∵C是抛物线$y=x^{2}-4$的顶点，
∴$C(0,-4)$.
∴$S_{\triangle BCD}=S_{\triangle OBD}+S_{\triangle OBC}=\frac {1}{2}×2×2+\frac {1}{2}×2×4=6$ （2）
∵新抛物线关于y轴对称，且经过点D，
∴D为新抛物线的顶点.联立$\left\{\begin{array}{l} y=x^{2}-4,\\ y=x+2,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-2,\\ y_{1}=0,\end{array}\right. \left\{\begin{array}{l} x_{2}=3,\\ y_{2}=5.\end{array}\right. $
∴点E的坐标为$(3,5)$.设新抛物线对应的函数解析式为$y=ax^{2}+2(a≠0)$.把$E(3,5)$代入，得$9a+2=5$，解得$a=\frac {1}{3}$.
∴新抛物线对应的函数解析式为$y=\frac {1}{3}x^{2}+2$
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