《2025年通成学典课时作业本九年级数学上册人教版浙江专版》

12. 已知a,b满足$a^2 - 15a - 5 = 0$,$b^2 - 15b - 5 = 0$,求$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值.

答案： 当a=b时，$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=2.当a≠b时，可将a，b看成方程x²-15x-5=0的两个不等的根.由根与系数的关系，可知a+b=15，ab=-5，
∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=$\frac{a²+b²}{ab}$=$\frac{(a+b)²-2ab}{ab}$=-47.
∴$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$的值为2或-47

13. 某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,那么每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,则日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元？

答案： 设每千克应涨价x元.由题意，得(500-20x)(10+x)=6000.整理，得x²-15x+50=0，解得x₁=5，x₂=10.
∵要使顾客得到实惠，
∴x=5.
∴每千克应涨价5元

14. 某商场销售一批衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫降价1元,那么商场平均每天可多销售2件.
(1)若该商场每件衬衫降价4元,则平均每天可盈利多少元？
(2)若该商场平均每天要盈利1200元,且尽可能让顾客多得实惠,则每件衬衫应降价多少元？
(3)该商场可能平均每天盈利1600元吗？请判断并说明理由.

答案： （1）由题意，得(20+2×4)×(40-4)=1008(元).
∴该商场平均每天可盈利1008元 （2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售(20+2x)件.由题意，得(40-x)(20+2x)=1200.整理，得x²-30x+200=0，解得x₁=10，x₂=20.
∵要尽可能让顾客多得实惠，
∴x=20.
∴每件衬衫应降价20元 （3）不可能 理由：由题意及（2），得(40-x)(20+2x)=1600.整理，得x²-30x+400=0.
∵Δ=(-30)²-4×1×400=-700＜0，
∴该方程无实数根.
∴该商场不可能平均每天盈利1600元.

15. 如图,要设计一幅长30 cm、宽20 cm的矩形图案,其中有两横两竖的条纹,横、竖条纹的宽度之比为2:3.如果要使得所有条纹所占面积为原矩形图案面积的三分之一,那么应如何设计条纹的宽度？

答案： 设横条纹的宽度为x cm，则竖条纹的宽度为$\frac{3}{2}$x cm.由题意，得2×20x+2×30×$\frac{3}{2}$x-x·$\frac{3}{2}$x·4=$\frac{1}{3}$×20×30.整理，得3x²-65x+100=0，解得x₁=$\frac{5}{3}$，x₂=20(不合题意，舍去).
∴$\frac{3}{2}$x=$\frac{5}{2}$.
∴应设计横条纹的宽度为$\frac{5}{3}$cm，竖条纹的宽度为$\frac{5}{2}$cm