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8. (2023·吉林)如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC是⊙O的半径,P为OB上任意一点(点P不与点B重合),连接CP.若∠BAC= 70°,则∠BPC的度数可能为( )
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
答案：
D
9. (2023·郴州)如图,某博览会上有一圆形展示区,在其边缘的点P处安装了一台监视器,它的监控角度是55°,为了监控整个展示区,最少共需要在圆形边缘上安装______台这样的监视器.
答案：
4
10. (2022·湖州)如图,AB是⊙O的弦,∠AOB= 120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交⊙O于点D.若∠APD是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角,则∠APD的度数为______.
答案：
30°
11. (2022·襄阳)已知⊙O的直径AB为2,弦AC的长为$\sqrt{2}$,则弦AC所对的圆周角的度数为______.
答案：
45°或 135°
12. 如图,以△ABC的一边AB为直径的圆与其他两边BC,AC的交点分别为D,E,且D为$\overset{\frown}{BE}$的中点,连接BE.若∠BAC= 70°,求∠DBE的度数.
答案：
如图，连接 OD 交 BE 于点 H，连接 AD.
∵ D 为$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴ 易得 OD⊥BE，且 BH = EH.
∵ AB 为$\odot O$的直径，
∴ ∠AEB = 90°，即 BE⊥AC.
∴ OD//AC.
∴ ∠BAC = ∠BOD = 70°，则∠ABE = 90° - 70° = 20°. 又
∵ OD = OB，
∴ ∠ODB = ∠OBD = $\frac{1}{2}$×(180° - 70°) = 55°.
∴ ∠DBE = ∠OBD - ∠ABE = 55° - 20° = 35°
∵ D 为$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴ 易得 OD⊥BE，且 BH = EH.
∵ AB 为$\odot O$的直径，
∴ ∠AEB = 90°，即 BE⊥AC.
∴ OD//AC.
∴ ∠BAC = ∠BOD = 70°，则∠ABE = 90° - 70° = 20°. 又
∵ OD = OB，
∴ ∠ODB = ∠OBD = $\frac{1}{2}$×(180° - 70°) = 55°.
∴ ∠DBE = ∠OBD - ∠ABE = 55° - 20° = 35°
13. (2023·泰州)已知A,B为圆上两定点,点C在该圆上,∠C为$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角.
(1) 如图①,在⊙O中,点B,C位于直线OA的异侧,∠AOB+∠C= 135°.
① 求∠C的度数；
② 若⊙O的半径为5,AC= 8,求BC的长.
(2) 如图②,若P为圆内一点,且∠APB＜120°,PA= PB,∠APB= 2∠C.求证：点P为该圆的圆心.
(3) 如图③,∠APB= 90°,点C在⊙P位于直线PA上方部分的圆弧上运动,点D在⊙P上,求证：满足CD= $\sqrt{2}$BC-AC的所有点D中,必有一个点的位置始终不变.
(1) 如图①,在⊙O中,点B,C位于直线OA的异侧,∠AOB+∠C= 135°.
① 求∠C的度数；
② 若⊙O的半径为5,AC= 8,求BC的长.
(2) 如图②,若P为圆内一点,且∠APB＜120°,PA= PB,∠APB= 2∠C.求证：点P为该圆的圆心.
(3) 如图③,∠APB= 90°,点C在⊙P位于直线PA上方部分的圆弧上运动,点D在⊙P上,求证：满足CD= $\sqrt{2}$BC-AC的所有点D中,必有一个点的位置始终不变.
答案：
(1)①
∵ ∠AOB + ∠C = 135°，∠AOB = 2∠C，
∴ 3∠C = 135°.
∴ ∠C = 45° ② 如图①，连接 AB，过点 A 作 AM⊥BC，垂足为 M.
∵ ∠C = 45°，AC = 8，
∴ 易得 AM = CM = $4\sqrt{2}$.
∵ ∠AOB = 2∠C = 90°，OA = OB = 5，
∴ 在 Rt△AOB 中，AB = $\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$ = $5\sqrt{2}$. 在 Rt△ABM 中，BM = $\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}$ = $3\sqrt{2}$.
∴ BC = CM + BM = $4\sqrt{2}+3\sqrt{2}$ = $7\sqrt{2}$ （2）如图②，延长 AP 交圆于点 N，连接 BN，则∠C = ∠N.
∵ ∠APB = 2∠C，
∴ ∠APB = 2∠N.
∵ ∠APB = ∠N + ∠PBN，
∴ ∠N = ∠PBN.
∴ PN = PB.
∵ PA = PB，
∴ PA = PB = PN.
∴ 点 P 为该圆的圆心 （3）如图③，过点 B 作 BE⊥BC，交 CA 的延长线于点 E，连接 AB，延长 AP 交$\odot P$于点 F，连接 CF，BF.
∵ ∠APB = 90°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠APB = 45°.
∴ 易得 BE = BC，CE = $\sqrt{2}BC$.
∵ ∠APB = 90°，即 BP⊥AF，PA = PF，
∴ BA = BF.
∵ AF 是$\odot P$的直径，BE⊥BC，
∴ ∠EBC = ∠ABF = 90°.
∴ ∠EBC - ∠ABC = ∠ABF - ∠ABC，即∠EBA = ∠CBF.
∴ △EBA≌△CBF.
∴ AE = FC.
∵ CD = $\sqrt{2}BC - AC$ = CE - AC = AE，
∴ CD = FC.
∴ 满足 CD = $\sqrt{2}BC - AC$的所有点 D 中，必有一个点的位置始终不变，点 F 即为所求
(1)①
∵ ∠AOB + ∠C = 135°，∠AOB = 2∠C，
∴ 3∠C = 135°.
∴ ∠C = 45° ② 如图①，连接 AB，过点 A 作 AM⊥BC，垂足为 M.
∵ ∠C = 45°，AC = 8，
∴ 易得 AM = CM = $4\sqrt{2}$.
∵ ∠AOB = 2∠C = 90°，OA = OB = 5，
∴ 在 Rt△AOB 中，AB = $\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$ = $5\sqrt{2}$. 在 Rt△ABM 中，BM = $\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}$ = $3\sqrt{2}$.
∴ BC = CM + BM = $4\sqrt{2}+3\sqrt{2}$ = $7\sqrt{2}$ （2）如图②，延长 AP 交圆于点 N，连接 BN，则∠C = ∠N.
∵ ∠APB = 2∠C，
∴ ∠APB = 2∠N.
∵ ∠APB = ∠N + ∠PBN，
∴ ∠N = ∠PBN.
∴ PN = PB.
∵ PA = PB，
∴ PA = PB = PN.
∴ 点 P 为该圆的圆心 （3）如图③，过点 B 作 BE⊥BC，交 CA 的延长线于点 E，连接 AB，延长 AP 交$\odot P$于点 F，连接 CF，BF.
∵ ∠APB = 90°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠APB = 45°.
∴ 易得 BE = BC，CE = $\sqrt{2}BC$.
∵ ∠APB = 90°，即 BP⊥AF，PA = PF，
∴ BA = BF.
∵ AF 是$\odot P$的直径，BE⊥BC，
∴ ∠EBC = ∠ABF = 90°.
∴ ∠EBC - ∠ABC = ∠ABF - ∠ABC，即∠EBA = ∠CBF.
∴ △EBA≌△CBF.
∴ AE = FC.
∵ CD = $\sqrt{2}BC - AC$ = CE - AC = AE，
∴ CD = FC.
∴ 满足 CD = $\sqrt{2}BC - AC$的所有点 D 中，必有一个点的位置始终不变，点 F 即为所求
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