《2025年补充习题江苏七年级数学上册苏科版》

7. 如图,用五个实心圆圈、五个空心圆圈相间组成一个圆环,然后把这样的圆环从左到右按下列规律组成圆环串：相邻两个圆环有一个公共圆圈,公共圆圈从左到右以实心圆圈和空心圆圈相间排列.

(1) 把下列表格补充完整：
| 圆环串中圆环的个数 | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | $ 5 $ | … |
| 实心圆圈和空心圆圈的总个数 | $ 10 $ | $ 19 $ | | | | … |
(2) 设圆环串由 $ x $ 个圆环组成,那么组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数是多少(用含 $ x $ 的代数式表示)?
(3) 你还能提出什么问题? 与同学交流,并回答问题.

答案： 【解析】：
(1)观察给定的圆环串规律。
当有1个圆环时，有10个圆圈（5实心+5空心）。
当有2个圆环时，由于两个圆环共享一个圆圈，所以增加的圆圈数为9（而不是10），总共有19个圆圈。
当有3个圆环时，第三个圆环与第二个圆环共享一个圆圈，所以再增加9个圆圈，总共有28个圆圈。
当有4个圆环时，第四个圆环与第三个圆环共享一个圆圈，所以再增加9个圆圈，总共有37个圆圈。
当有5个圆环时，第五个圆环与第四个圆环共享一个圆圈，所以再增加9个圆圈，总共有46个圆圈。
(2)设圆环串由$x$个圆环组成。
第一个圆环有10个圆圈。
从第二个圆环开始，每个圆环都增加9个圆圈（因为与前一个圆环共享一个圆圈）。
因此，$x$个圆环组成的圆环串中，圆圈的总数为：$10 + 9(x - 1) = 9x + 1$。
(3)可以提出一个问题：
当圆环串有$x$个圆环时，实心圆圈和空心圆圈各有多少个？
由于实心圆圈和空心圆圈相间排列，且每个圆环中实心和空心圆圈的数量相等，所以实心圆圈和空心圆圈的数量都是总数的一半，即$\frac{9x + 1}{2}$。
但这里需要注意，由于$9x + 1$是奇数，所以实心圆圈和空心圆圈的数量不能同时为整数。
实际上，由于起始圆环的实心和空心圆圈数量相等，且后续圆环的加入不影响这种相等性，所以实心圆圈和空心圆圈的数量总是相差1（当$x$为奇数时，实心圆圈多一个；当$x$为偶数时，空心圆圈多一个，但由于起始是实心圆圈多一个，所以总体上实心圆圈多一个）。
但为了简化问题，可以只考虑它们的总数或近似数量（即不考虑这个微小的差异）。
因此，可以回答：当圆环串有$x$个圆环时，实心圆圈和空心圆圈的数量都约为$\frac{9x + 1}{2}$（实际上实心圆圈比空心圆圈多一个，但这里忽略这个差异）。
【答案】：
(1)表格补充如下：
| 圆环串中圆环的个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 实心圆圈和空心圆圈的总个数 | 10 | 19 | 28 | 37 | 46 | … |
(2)组成这个圆环串所需实心圆圈和空心圆圈的总个数是$9x + 1$。
(3)提出的问题：当圆环串有$x$个圆环时，实心圆圈和空心圆圈各有多少个？
回答：实心圆圈和空心圆圈的数量都约为$\frac{9x + 1}{2}$（实际上实心圆圈比空心圆圈多一个）。