《2025年补充习题江苏七年级数学上册苏科版》

5. 【概念】
我们把求若干个相同的有理数(均不等于零)的除法运算称为“除方”,如$2 ÷ 2 ÷ 2$,$(-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3)$等.类比有理数的乘方,把$2 ÷ 2 ÷ 2记作2^{\textcircled{3}}$,读作“$2的圈3$次方”,$(-3) ÷ (-3) ÷ (-3) ÷ (-3)记作(-3)^{\textcircled{4}}$,读作“$-3的圈4$次方”.
一般地,把$\underset{n个a}{\underbrace{a ÷ a ÷ a ÷ … ÷ a}}(a \neq 0)记作a^{\textcircled{n}}$,读作“$a的圈n$次方”.
【探究】
(1) 直接写出计算结果：$2^{\textcircled{3}} = $______,$(-\frac{1}{2})^{\textcircled{5}} = $______；
(2) 关于除方,下列说法错误的是( ).
A.任何非零数的“圈$2$次方”都等于$1$
B.对于任何正整数$n$,$1^{\textcircled{n}} = 1$
C.$(-3)^{\textcircled{4}} = 4^{\textcircled{3}}$
D.负数的“圈奇数次方”结果是负数,负数的“圈偶数次方”结果是正数
【拓展】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的“除方”运算如何转化为乘方运算呢？
$2^{\textcircled{4}} = 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 2 × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^{2}$.
(3) 试一试：仿照上面的算式,将下列运算的结果直接写成幂的形式.
$(-3)^{\textcircled{4}} = $______；$5^{\textcircled{6}} = $______；$(-\frac{1}{2})^{\textcircled{10}} = $______.
(4) 算一算：$24 ÷ 2^{3} + (-16) × 2^{\textcircled{4}}$.
(5) 想一想：将一个非零有理数$a$的“圈$n$次方”写成幂的形式,即$a^{\textcircled{n}}(a \neq 0) = $______.

答案： 1. （1）
$2^{\textcircled{3}}=2÷2÷2=\frac{1}{2}$；
$(-\frac{1}{2})^{\textcircled{5}}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=-8$。
2. （2）
选项A：$a^{\textcircled{2}} = a÷ a = 1(a\neq0)$，该选项正确；
选项B：$1^{\textcircled{n}}=\underset{n个1}{\underbrace{1÷1÷·s÷1}} = 1$，该选项正确；
选项C：$(-3)^{\textcircled{4}}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=\frac{1}{9}$，$4^{\textcircled{3}}=4÷4÷4=\frac{1}{4}$，$(-3)^{\textcircled{4}}\neq4^{\textcircled{3}}$，该选项错误；
选项D：根据除方的定义，负数的“圈奇数次方”结果是负数，负数的“圈偶数次方”结果是正数，该选项正确。
所以说法错误的是C。
3. （3）
$(-3)^{\textcircled{4}}=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(\frac{1}{3})^{2}$；
$5^{\textcircled{6}}=5÷5÷5÷5÷5÷5 = 5×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=(\frac{1}{5})^{4}$；
$(-\frac{1}{2})^{\textcircled{10}}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷·s÷(-\frac{1}{2})$（$10$个$-\frac{1}{2}$）$=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×·s×(-2)$（$8$个$-2$）$=(-2)^{8}$。
4. （4）
解：
先计算$2^{\textcircled{4}}$：$2^{\textcircled{4}}=2÷2÷2÷2 = (\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$；
再计算$24÷2^{3}+(-16)×2^{\textcircled{4}}$：
$24÷2^{3}+(-16)×2^{\textcircled{4}}=24÷8+(-16)×\frac{1}{4}$；
根据运算顺序，先算乘除：$24÷8 = 3$，$(-16)×\frac{1}{4}=-4$；
最后算加法：$3+( - 4)=3 - 4=-1$。
5. （5）
$a^{\textcircled{n}}=a÷ a÷·s÷ a$（$n$个$a$）$=a×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}×·s×\frac{1}{a}$（$(n - 2)$个$\frac{1}{a}$）$=(\frac{1}{a})^{n - 2}(a\neq0)$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{1}{2}$，$-8$；（2）C；（3）$(\frac{1}{3})^{2}$，$(\frac{1}{5})^{4}$，$(-2)^{8}$；（4）$-1$；（5）$(\frac{1}{a})^{n - 2}$。