《2025年补充习题江苏七年级数学上册苏科版》

6. (1)由1,2,3,4四个数字组成的四位数共有几个？
(2)四名同学排成一排,有多少种排法？

答案： 【解析】：
本题主要考察的是排列组合的基本概念。
(1) 对于由1,2,3,4四个数字组成的四位数，每一个位置都可以放入这四个数字中的任意一个，且同一个数字在一个四位数中不能重复出现。因此，这是一个典型的排列问题。
第一个位置有4种选择，第二个位置就剩下3种选择，第三个位置有2种选择，最后一个位置只有1种选择。所以，总的排列方式为 $4 × 3 × 2 × 1 = 24$。
(2) 对于四名同学排成一排的情况，同样也是一个排列问题。第一个位置可以放4名同学中的任意一名，第二个位置可以放剩下的3名同学中的任意一名，第三个位置可以放剩下的2名同学中的任意一名，最后一个位置只能放剩下的一名同学。所以，总的排列方式也是 $4 × 3 × 2 × 1 = 24$。
【答案】：
(1) 24个
(2) 24种

7. 购买西瓜时,人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。假设把西瓜都看成球形,半径记作$R$,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜皮的厚度处处为$d$。你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？

答案： 【解析】：
本题主要考察球体的体积计算以及实际生活中的比例问题。
首先，我们需要计算整个西瓜的体积和西瓜瓤的体积。
整个西瓜的体积 $V_{\text{总}}$ 可以用球体体积公式计算：
$V_{\text{总}} = \frac{4}{3}\pi R^{3}$
西瓜瓤的半径为 $R-d$，所以西瓜瓤的体积 $V_{\text{瓤}}$ 为：
$V_{\text{瓤}} = \frac{4}{3}\pi (R - d)^{3}$
西瓜瓤占整个西瓜的比例 $\eta$ 可以表示为：
$\eta = \frac{V_{\text{瓤}}}{V_{\text{总}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi (R - d)^{3}}{\frac{4}{3}\pi R^{3}} = \left( \frac{R - d}{R} \right)^{3} = \left( 1 - \frac{d}{R} \right)^{3}$
为了分析买大西瓜还是买小西瓜更合算，我们需要考虑比例 $\eta$ 与 $R$ 的关系。
当西瓜的半径 $R$ 增大时，$\frac{d}{R}$ 会减小，因此 $\left( 1 - \frac{d}{R} \right)^{3}$ 会增大。
这意味着，西瓜越大，西瓜瓤占整个西瓜的比例越大。
【答案】：
买大西瓜合算。因为当西瓜的半径 $R$ 增大时，西瓜瓤占整个西瓜的比例 $\eta = \left( 1 - \frac{d}{R} \right)^{3}$ 也会增大。